高三数学推理与证明与几何证明（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：推理与证明与几何证明二.重点、难点：1.合情推理（1）归纳推理（个别到一般）（2）类比推理（由特殊到特殊）2.演绎推理（三段论）（由一般到个别）3.直接证明、综合法、分析法4.间接证明：反证法5.平面几何证明（1）相似三角形（2）直线与圆（3）圆锥曲线性质【典型例题】[例1]在平面几何里，有勾股定理：“△ABC的两边AB，AC互相垂直，则。”拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则。”解：设AB=，AC=，AD= 三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直AB∴、AC、AD两两垂直∴作BE⊥DC于E，连结AE，则CD⊥AE在中，在中，∴∴∴用心爱心专心[例2]求证函数是奇函数，且在定义域上是增函数。解析：所以定义域为即，所以是奇函数任取，且则由于，从而，所以，故为增函数[例3]观察①；②。由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想。解析：观察40°－10°=30°，36°－30°=6°，由此猜想：证明：用心爱心专心[例4]先解答（1），再通过类比解答（2）。（1）已知，求证：（2）已知，，求证：。分析：本题（1）与（2）从二元结构形式，类比到元结构形式，属结构形式上的形式类比，由（1）的证法，可类比得到（2）的证法。证明：（1） 由不等式及都是正数可得：，∴，即（2） 都大于0∴，…，把上面n个式子相加得即[例5]已知都是实数，求证：。证明：以为依据，利用综合法证明。用心爱心专心 ∴， ，∴ ，∴将以上三个不等式相加得①即②在不等式①的两边同时加上“”，得即③在不等式②的两边同时加上“”，得即④由③④得[例6]已知P是△ABC所在平面外一点，已知PA、PB、PC两两垂直，PH⊥平面ABC于H，求证：证明：连CH延长交AB于DPC⊥PA ，PC⊥PB，∴PC⊥平面PABPC⊥AB∴，又PH⊥平面ABCPH⊥AB∴AB⊥∴平面PCH，PD⊥AB又PA⊥PB，由三角形面积公式有∴，又，∴同理∴[例7]设。求证：。证明：要证成立只要证即证，也就是证只要证，即证 ，也就是证，显然成立故不等式成立[例8]实数满足，，求证：中至少有一个是负数。用心爱心专心解答：证法1：假设都是非负数，由，知从而∴=1与已知矛盾∴中至少有一个是负数证法2：假设都是非负数，则这与已知矛盾∴中至少有一个是负数[例9]设有长度分别为和的5条线段，今知其中任何3条都可以构成一个三角形，证明：其中必有锐角三角形。证明：为了便于叙述，不妨设，并设由它们中的任何3条组成的都不是锐角三角形，则由余弦定理可得：∴有∴∴ 能构成三角形的三边，∴有，从而得出矛盾故其中必有一个为锐角三角形[例10]已知常数，为正整数，是关于x的函数。（1）判定函数的单调性，并证明你的结论；（2）对任意，证明。证明：（1） ，∴，∴在（0，+∞）上单调递减用心爱心专心（2）由（1）知当，是关于x的减函数∴当时，有又 ，∴ ，∴[例11]已知且。求证：解析：证法1：（作差比较法） ，又且，∴又，∴，∴，即证法2：（分析法） ，∴要证，只要证明，即证，而由，∴，又，知显然成立，故原不等式成立。[例12]已知，求证：。证明：方法1（综合法） ∴展开得∴方法2（分析法）要证 故只需证即证亦即证而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立方法3： ∴用心爱心专心∴∴[例13]已知：是不全相等的正数。求证：证明： ∴同理：三式相加得又 不全相等，故等号不成立即[例14]已知：AB是⊙O的直径，DA⊥AB于A，DA//BC，且∠COD=90°，求证：DC是⊙O的切线。解析： DA⊥AB，DA//BCBC⊥AB∴∠COD=90°∠BCO=∠AOD△BCO∽△AOD ∴∴∴∴∠OCB=∠OCDOC∴∴是∠BCD的平分线O∴到CD距离等于OBCD∴是⊙O切线[例15]如图，在中，∠BAC=90°，BC边的垂直平分线EM和AB、AC（或延长线）分别交于D、E，求证：。分析：将化为，问题转化为证明△AMD∽△EMA解析： ∠BAC=90°，M是BC的中点AM=CM∴，∠MAC=∠CEM⊥BC∠E+∠C=90° ∴又 ∠BAM+∠MAC=90°∠E=∠BAM∴∠EMA=∠AMD△AMD∽△EMA ∴用心爱心专心∴∴[例16]如图，四边形A...
