高三数学排列、组合通用版知识精讲【本讲主要内容】排列、组合分类计数原理、分步计数原理、排列、排列数公式、组合、组合数公式【知识掌握】【知识点精析】1.两个原理（1）分类计数原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=mmmn12…种不同方法。（2）分步计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事共有Nmm12……mn种不同方法。说明：两个原理的运用、理解须注意的几点：（1）必须搞清楚两个原理的条件和结论，分清它们的异同，分类完成用分类计数原理，即独立事件相加；分步完成用分步计数原理，即相连事件相乘。（2）处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么。因此，在解题时必须认真审题，搞清楚题目的条件、结论。（3）对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理，又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，积累解决实际问题的经验。框图和树形图是解决这类问题的有效的直观形象工具。（4）分类计数原理与分步计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数公式、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想方法。2.排列（1）排列、排列数公式①排列：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。其中，“一定的顺序”指每一次取出的元素与它所排的“位置”有关，两个排列相同，不但所有元素相同，而且排列顺序也要相同。②排列数公式：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示，其中Ann是全排列。Annnmnnm)nm()()!(!11…（连乘表示式）或（阶乘表示，其中n、mNmn*，且。特别地，当m=n时，Annn!，阶乘n!=12…（）nnN*，为了适应阶乘表示式m=n的要求规定：0！=1）说明：排列、排列数公式的理解与运用须注意的几点：①理解排列的概念：a.定义规定的是给出n个不同元素，并且被取出的元素也各不相同的情况；也就是说，如果某个元素已被取出，就不能再取了，既无重复的排列。b.排列是与“顺序”有关的，对有些具体问题需要判定，例如取出两个数做乘法就与顺序无关，作除法就与顺序有关，这是由乘除法是否满足交换律决定的。②要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念，前者是指一种具体排法，不是数，而后者则是所有这种排列的个数，它是一个数。在写具体排列时，要按一定规律写，以免造成重复和遗漏。③对于排列数的两个形式的公式，连乘表示式常用于计算具体的排列数的值；阶乘表示式则常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式。3.组合（1）组合、组合数公式①组合：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。②组合数公式：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示，由于ACAnmnmmm，因此CAAnnnmmCnmnm)nmnmmmnm()()!!!(!11…（连乘表示式）或（阶乘表示式）这里。③组合数的两个性质：CCCCCnmnnmnmnmnm；11为了使公式CCnmnnm在m=n时能成立，规定：Cn01。说明：组合、组合数公式、组合数性质定理的理解与运用须注意的几点：①排列与组合的根本区别在于排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。ab与ba是两个排列，但却是同一种组合。②“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，前者是一个具体事件，而后者是符合条件的所有组合的个数，是一个数。在写具体组合时，也要按一定的规律写，以免重复或遗漏。③对于组合数公式的两种形式和组合数的两个性质，前者适用于计算，组合数性质CCmnnmnnm常用于2时的计算；性质CCCnmnmnm11则常用于恒等变形和等式证明。【解题方法...
