换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,2]。一、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4)（a>1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程1313xx＝3的解是_______________。6.不等式log2(2x－1)·log2(2x1－2)〈2的解集是_______________。用心爱心专心【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝t22＋t－12，对称轴t＝－1，当t＝2，ymax＝12＋2；2小题：设x2＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,loga4]；3小题：已知变形为11an－1an＝－1,设bn＝1an，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以an＝－1n；4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0,△＝4k2－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝13，所以x＝－1；6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2
