江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，直线AB与圆O相切于点B，直线AO交圆O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C，且AD＝3DC，BC＝，求圆O的直径．B.(选修4-2：矩阵与变换)设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下得到的曲线方程．C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.设P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．1D.(选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝，g(x)＝，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2)求二面角ADFC的大小．23.在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列．2(十四)21.A.解：因为DE是圆O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°.(3分)又AB切圆O于点B，得∠ABD＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(5分)即BD平分∠CBA，则＝＝3.又BC＝，从而AB＝3，所以AC＝＝4，所以AD＝3.(8分)由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即圆O的直径为3.(10分)B.解：MN＝＝，(4分)设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x′，y′)．则＝，(6分)所以x′＝x，y′＝2y，则x＝2x′，y＝y′，(8分)代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.(10分)C.解：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，从而有x2＋y2＝2y，(3分)所以x2＋(y－)2＝3.(5分)设P，C(0，)，PC＝＝.(8分)故当t＝0时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3，0)．(10分)D.解：存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，(2分)因为f(x)＋g(x)＝＋＝×＋1×，(4分)由柯西不等式：(×＋1×)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，(7分)所以f(x)＋g(x)＝＋≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，(9分)故常数a的取值范围是(－∞，8)．(10分)22.(1)证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)．∵E为AB的中点，∴E点坐标为E(1，1，0)．∵D1F＝2FE，∴D1F＝D1E＝(1，1，－2)＝，DF＝DD1＋D1F＝(0，0，2)＋＝.(2分)设n＝(x，y，z)是平面DFC的法向量，则∴取x＝1得平面FDC的一个法向量n＝(1，0，－1)．(3分)设p＝(x，y，z)是平面ED1C的法向量，则∴3取y＝1得平面D1EC的一个法向量p＝(1，1，1)．(4分)∵n·p＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0，∴平面DFC⊥平面D1EC.(5分)(2)解：设q＝(x，y，z)是平面ADF的法向量，则∴取y＝1得平面ADF的一个法向量q＝(0，1，－1)．(7分)设二面角ADFC的平面角为θ，由题中条件可知θ∈，则cosθ＝－＝－＝－，(9分)∴二面角ADFC的大小为120°.(10分)23.(1)解：杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成．如果第n行中有＝＝，＝＝，那么3n－7k＝－3，4n－9k＝5，(2分)解这个联立方程组，得k＝27，n＝62.(3分)即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.(4分)(2)证明：若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2C＝C＋C，2C＝C＋C，即＝＋，＝＋.(6分)所以有＝＋，＝＋，经整理得到n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.两式相减可得n＝2r＋3，于是C，C，C，C成等差数列，(8分)而由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．(10分)4
