江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB2＝BE·BD－AE·AC.B.(选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A＝，向量α＝，计算A5α.C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C交点P的直角坐标．D.(选修4-5：不等式选讲)已知a，b∈R，a＞b＞e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba＞ab.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．23.在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m(m≤n，m，n∈N*)个元素构成集合Am.若Am的所有元素之和为偶数，则称Am为A的偶子集，其个数记为f(m)；若Am的所有元素之和为奇数，则称Am为A的奇子集，其个数记为g(m)．令F(m)＝f(m)－g(m)．(1)当n＝2时，求F(1)，F(2)，F(3)的值；(2)求F(m)．(十九)21.A.证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以AD⊥BD.又EF⊥AB，则A，D，E，F四点共圆，所以BD·BE＝BA·BF.(5分)又△ABC∽△AEF，所以＝，即AB·AF＝AE·AC，所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2.(10分)B.解：因为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，由f(λ)＝0，得λ＝2或λ＝3.(3分)当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝.设＝m＋n，解得(6分)所以A5α＝2×25＋1×35＝.(10分)C.解：直线l的普通方程为y＝x，①(3分)曲线C的直角坐标方程为y＝x2(x∈[－2，2])，②(6分)联立①②解方程组得或根据x的范围应舍去故P点的直角坐标为(0，0)．(10分)D.证明：因为ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只要证alnb>blna，只要证>.(因为a>b>e)(4分)取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．所以，当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>.(10分)22.解：(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则P(A)＝＝.(4分)(2)设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为P1＝＝；获得三等奖的概率为P3＝＝；所以P(B)＝＋＋＝.(8分)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列是X012P(X)所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)23.解：(1)当n＝2时，集合为{1，2，3，4}，当m＝1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f(1)＝2，g(1)＝2，F(1)＝0；当m＝2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，f(2)＝2，g(2)＝4，F(2)＝－2；(3分)当m＝3时，偶子集有{1，2，3}，{1，3，4}，奇子集有{1，2，4}，{2，3，4}，f(3)＝2，g(3)＝2，F(3)＝0.(4分)(2)当m为奇数时，偶子集的个数f(m)＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，奇子集的个数g(m)＝CC＋CC＋…＋CC，所以f(m)＝g(m)，F(m)＝f(m)－g(m)＝0.(6分)当m为偶数时，偶子集的个数f(m)＝CC＋CC＋CC＋…＋CC，奇子集的个数g(m)＝CC＋CC＋…＋CC，所以F(m)＝f(m)－g(m)＝CC－CC＋CC－CC＋…－CC＋CC.(7分)一方面，(1＋x)n(1－x)n＝(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)[C－Cx＋Cx2－…＋(－1)nCxn]，所以(1＋x)n(1－x)n中xm的系数为CC－CC＋CC－CC＋…－CC＋CC；(8分)另一方面，(1＋x)n(1－x)n＝(1－x2)n，(1－x2)n中xm的系数为(－1)Cn，故F(m)＝(－1)Cn.综上，F(m)＝(10分)
