抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求解抽象函数问题的策略。一、利用特殊模型中学阶段，抽象函数对应具体模型有：抽象函数具有的性质特殊函数模型指数函数正比例函数对数函数余弦函数例1、若函数具有性质：为偶函数；2、对任意都有，则函数的解析式可以是。（只须写出满足条件的的一个解析式即可）分析：看到已知条件中有关于的不等式，所以联想到三角函数，结合为偶函数，得满足条件的函数的解析式是=或。例2、若函数和在R上有定义，且则。用心爱心专心（用数字作答）。分析与解：联想到三角公式，可取则是奇函数，于是有：，即例3、设函数的定义域为R，对于任意实数m，n，总有且>0,时0<<1,证明:且当x<0时,证明:在R上单调第减.设,,若确定的范围.分析与解:由于,所以联想到指数函数,则题意十分简明,为理解和解决问题作了模型和方法上的铺垫.(1)\在中,取,有且又设:即时,(2)设,则,且2在R上是增函数.(3),有有无解,即直线和单位圆没有交点,只须.例4.已知定义域为的函数,对于任意的是,恒有(1)求证:当时,(2)若时,恒有,求证:必有反函数.(3)设是的反函数,求证:在其定义域内恒有分析与解:由于,所以联想带对数函数则问题就简单易于理解了.(1)令,得令得当时,有(2)设且则故3在上单调递减，故必有反函数。（3）在的定义域内，故说明借助特殊函数模型直接或间接为解题铺路，是处理抽象函数问题的常用策略。二、利用函数的性质函数的特征是通过函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊的点等）反映出来的，抽象函数也不例外，只有充分利用题设条件所表明的函数的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易。1、利用奇偶性，整体思考例5、已知函数且求的的值。2、利用单调性，等价转化例6、设函数的定义域在上，对任意，都有若在上是增函数，解不等式并构造一个函数满足上述条件，画出它的示意图。分析与解：令，代入已知中，可得，再令代入已知中，可得，令代入已知中，得因此函数为偶函数。4由原不等式因为为是在上的增函数，所以在上有，---------（2）由于为上的偶函数，在上的增函数，所以在上为减函数，因此在上，由（1）得：----------（3）解（2）和（3）得：或即此为不等式的解。满足条件的函数如如果取则函数如的图象。例7、是定义在上且取值为整数的严格增函数（如果任意当时，有，则称是A上的严格增函数），当互质时，有若，求的值。分析与解：有题意，是定义在N上且取值为整数的严格增函数，当互质时，而这时，由而均为自然数，所以，有5故因此，说明，抽象函数与不等式的综合题常需要利用函数的单调性，脱掉函数的记号。3、利用周期性，回归已知例8、设函数是上的奇函数，，当时，则分析：是周期函数，结果是。例9、是定义在R上的函数，且若求的值。分析：是以4为周期的周期函数，故说明：对一类抽象函数求值问题，充分利用函数的周期性，可化未知为已知。4、利用对称性，数形结合例10、对任意的函数在同一个直角坐标系中，函数与的图象恒（）（A）关于X轴对称（B）关于直线对称（C）关于直线对称（D）关于Y轴对称答案：选（B）例11、若为奇函数，切在内是增函数，又。则的解集为（）。（A）（B）6（C）（D）答案；选（A）说明：若函数则函数的图形关于直线对称。这类抽象函数问题利用对称性，数形结合，常使问题迎刃而解。5、借助特殊点，运用方程思想例12已知函数的图象，如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）分析：可算的值，所以显然由或，即可解得，选（A）三、利用特殊方法有些抽象函数问题，用常规方法往往难以奏效，或过程十...
