易错点、学法指导及例题研究例1、函数是定义在R上的可导函数,则是函数在时取得极值的(B)A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件例2、已知函数处有极大值,则常数c=6;略解:,则,时取得极大值,所以经检验(如令)变式引申:函数在x=1时有极值10,则a,b的值为(C)A、或B、或C、D、以上都不对略解:由题设条件得:解之得通过验证,都合要求,故应选择A,上述解法错误,正确答案选C,注意代入检验说明:若点;若可导函数的两侧的导数异号,则点,函数处不一定可导,如函数;函数在取得极值处,如果有切线的话,则切线是水平的,从而,但反过来不一定,如函数处,说明切线是水平的,但这点的函数值不比它附近的大,也不比它附近的小,此处不一定有极值。例3、函数是定义在R上的可导函数,则为R上的单调增函数是的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件(B)说明:当时,函数单调递增,但单调递增,却不一定有,例如函数是R上的可导函数,它是R上的增函数,但当例4、函数(D)A、有最大值,但无最小值B、有最大值、最小值B、C、无最大值、最小值D、无最大值,有最小值略解:上单调递减,所以无最大、最小值。说明:在开区间(a,b)内连续的且可导的函数不一定有最大值与最小值,如函数例5、求的单调递增区间解:由函数的定义域可知,即又所以用心爱心专心115号编辑令,得或综上所述,的单调递增区间为(0,1)说明:求函数的单调区间时千万要注意定义域变式引申:已知,求函数的单调区间.解:令即解不等式:,当时,解得,时,解得:或,当时,解得,令,即当时,解得,当时,解得:当时,解得或综上所述:在时,函数在区间内为减函数,在区间为增函数。在时,函数在区间内为增函数,在区间为减函数,在区间内为增函数。在时,函数在区间内为减函数,在区间内为增函数,在区间内为减函数。说明:本题主要是在解不等式时注意对参数的讨论例6、已知曲线,求过点P的切线方程。解:上,(1)当为切点时,所求切线方程为(2)当不是切点时,设切点为,则,又切线斜率为,所以,,解得,此时切线的斜率为1,切线方程为,综上所述,所求切线为或。例7、求下列直线的方程:(1)曲线在P(-1,1)处的切线;(2)曲线过点P(3,5)的切线;解:(1)所以切线方程为(2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为,则①又函数的导数为,用心爱心专心115号编辑所以过点的切线的斜率为,又切线过、P(3,5)点,所以有②,由①②联立方程组得,,即切点为(1,1)时,切线斜率为;当切点为(5,25)时,切线斜率为;所以所求的切线有两条,方程分别为说明:(1)过点P的切线不能等同于在P点处的切线;(2)求出两条切线,是否可以说不在曲线上的点切线一定存在呢?答案是否定的,由例题可知切线的条数取决于关于方程(或方程组)的解的个数;(3)若函数在某点处不存在导数,不一定不存在切线,存在切线也不一定可导。例8、方程(B)A、0B、1C、2D、3略解:令=由,又,故得结论例9、若函数在是增函数,则(D)B、C、D、略解:不等式在指定区间上恒成立例10、函数上是增函数,则实数a的取值范围为(D)略解:方法(一)=,由题意可知当,上面不等式成立,当,当,若,不等式显然不成立,故;方法(二)因为,由题可知当,恒成立,因为当时,,所以,所以变式引申1:已知为实数,。(1)求导数;(2)若,求在上的最大值和最小值;(3)若在和上都是递增的,求的取值范围。解:(1),(2)令,解得,此时由,得:或,又,,,所以在上最大值为,最小值为(3)用心爱心专心115号编辑为开口向上且过点的抛物线,由条件知:,即解得:,所以的取值范围是变式引申2:(2006年江西卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值。(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b由f()=,f(1)=3+2a+b=0得,a=,b=-2f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:x...