高三数学导数与积分(二)(理)人教实验版(A)【本讲教育信息】一.教学内容:导数与积分(二)二.重点、难点1.导数应用题2.函数()定义域且奇偶性奇函数值域R单调区间(-∞,0)(0,+∞)↑图象3.()定义域R,值域为R,有两根(-∞,)↑()↓(,+∞)↑(-∞,)↓()↑(,+∞)↓R上↑无极值R上↓无极值【典型例题】[例1]研究函数的性质。解:∴(-∞,-1)↓(-1,1)↑(1,+∞)↑定义域R,值域奇函数[例2]已知函数在x=0处取得极值,曲线过原点和点P(-1,2),若曲线在点P处的切线与直线的夹角为45°,且该切线的倾斜角为钝角。(1)求的表达式;(2)求的单调区间。解:(1) 曲线过原点∴∴,又是的极值点∴∴(2分)又 过点P(-1,2)的切线斜率为,又由题意解得:(不合题意,舍去)由即解得∴(2),令得或所以在区间(-∞,-2)和(0,+∞)在内为增函数令得,所以在区间(-2,0)内为减函数综上知的单调区间为(-∞,-2),(0,+∞),(-2,0)[例3]已知函数,当时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值。(1)求的值及函数的极小值;(2)若对任意,不等式恒成立,试确定实数的最小值。(1)解:, 及x=3时取得极值∴-1,3是方程的根,即为的两根由一元二次方程根与系数的关系,有∴∴ 时极大值是7,∴,极小值∴极小值为-25(2)解:由(1)知在(-1,0)上是减函数且在[-1,0]上最大值,在[-1,0]上最小值对任意(-1,0)恒有成立∴,即的最小值为5[例4]已知,且(1)设,求的解析式;(2)设,试问:是否存在实数,使在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数。解:(1)由题意得 ∴,∴,∴(2)若满足条件的存在,则 函数在(-∞,-1)上是减函数,∴当时,即对于(-∞,-1)恒成立∴ ,∴,∴,解得又函数在(-1,0)上是增函数,∴当-1