高三数学奥赛辅导系列：二次函数与方程、不等式VIP免费

二次函数与方程、不等式基础知识：一、二次函数1．定义：形如2yaxbxc（0a）的函数叫二次函数．2．二次函数的有关性质①开口方向00aa时，开口向上时，开口向下②对称轴方程2bxa③定义域RD自然定义域：指定定义域：3．图象2bxa2bxa4．二次函数的解析式①一般式：2yaxbxc②顶点式：2()yaxmn，其中（m，n）是二次函数图象的顶点③交点式：12()()yaxxxx，其中12xx，是一元二次方程20axbxc的两实根．二、二次方程1．当2()fxaxbxc中，()0fx时，即得到二次方程20axbxc其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标．用心爱心专心x0ya＞0x0ya＜02．根的判别式24bac＞0时，方程有两个不相等的实数根；＝0时，方程有两个相等的实数根；＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．3．根与系数的关系（韦达定理）12bxxa12cxxa4．二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件20axbxc（0a）若有二根11x，21x则(1)0f若有二根12xx，（2，3）则(2)0(3)00(23)2ffba≥，三、一元二次不等式一元二次不等式20axbxc（或＜0）的解集，即函数2()fxaxbxc的自变量的取值范围，使其函数值()0fx（或＜0）的自变量的取值范围．000例题：1．选择题①2()fxxbxc对任意实数t都有(2)(2)ftft，那么（）用心爱心专心x0x0ya＞0x0yx0yx1x2x0A．(2)(1)(4)fffB．(1)(2)(4)fffC．(2)(4)(1)fffD．(4)(2)(1)fff解：由题意，()fx的图象关于直线2x对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知(2)(1)(4)fff，选A．②已知22log(2)ayxx在区间（－∞，0）上单调递增，则a的取值范围是（）A．1aB．11aC．Ra且0aD．1a或1a解：由函数的单调性的定义知：x在（－∞，0）上增大时，函数值y随之增大，故有以下过程：x：－∞增大022uxx：＋∞减小0故必有0＜a2＜1∴－1＜a＜1且a≠0．选B③已知函数y＝log21（x2－6x＋7），则y（）A．有最大值没有最小值B．有最小值没有最大值C．有最大值也有最小值D．没有最大值也没有最小值解： u＝x2－6x＋7∈[－2，＋∞）而定义域要求u＞0，即u∈（0，＋∞）∴b＝log0.5u∴b∈（－∞，＋∞）．选D2．填空题①方程22||(R)xxaa有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______．解：令212||yxx，2ya则2122(0)2(0)xxxyxxx≥，其函数图象如下：用心爱心专心思考：a为何（范围）值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？②关于x的方程2290xax的两个实数根分别为，，则22(1)(1)的最小值是_______________．解：方程有实数根，故24490a≥∴3a≤或3a≥又29a，∴22(1)(1)y2()2()2224416aa 3a≤或3a≥∴8y≥（a＝3时取等号）∴min8y3．已知函数24230yxaxa的图象与x轴无交点，求关于x的方程3xa|1|1a的根的范围．分析：由于图象与x轴没有交点，所以0，解得a的取值范围又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题．解： 24230yxaxa的图象与x轴无交点，所以2(4)4(230)0aa解得：－2.5＜a＜3（1）当a∈（－2.5，1]时，方程化为x＝（a＋3）（2－a）＝－a2－a＋6∈（425,49]（2）当a∈（1，3）时，方程化为x＝（a＋3）a＝a2＋3a∈（4，18）综上所述：x∈（49，18）4．设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝（k2＋k＋1）x2－2（a＋k）2x＋（k2＋3ak＋b）的图象与x轴都交于点A（1，0）．用心爱心专心①求a、b的值；②若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值．分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值．解：⑴由已知条件，点A（1，0）在函数图象上，故（k2＋k＋1）－2（a＋k）2＋（k2＋3ak＋b）＝0整理得：（1－a）k＋（b＋1－2a2）＝0 对...