高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第六讲四点共圆》主编:贾广素59ABCFEDH第六讲四点共圆证明多点共圆问题是历年以来高中数学联赛二试试题中最常考的内容.多点共圆的题型有两类:一类是直接证明若干个点共圆;另一类则是利用多点共圆来寻找出角度或者是三角形连长之间的等量关系.尤其是四点共圆的应用较为广泛,而其他的证明多点共圆问题也常常是以四点共圆为基础而实现的,因此,在本节,我们重点从研究四点共圆的问题出发,来探索多点共圆问题.“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路.同在一个圆上的许多点称为共圆点,或者说这些点共圆.证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考:(1)要证明若干点共圆,先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径,然后证明其他点对这条线段的视角均为直角.(2)要证明四点共圆,可证明以这点为顶点的四边形的对角互补,或证某两点视另两点所连线段的视角相等.(3)如果两线段AB,CD相交于E点,且AE·EB=CE·ED,则A,B,C,D四点共圆.(4)若相交直线PA,PB上各有一点C,D,且PA·PC=PB·PD,则A,B,C,D四点共圆.(5)若四边形一个外角等于其内对角,则四边形的四顶点共圆.(6)要证明若干点共圆,先证其中四点共圆,然后再证其余点都在此圆上.共圆点问题不但是几何中的重要问题,而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介.(1)若两个直角三角形有公共斜边,则四顶点共圆.【例1】设,,ADBECF为ABC的三条高,H为垂心.(1)试问:图中共有多少组四点共圆?(2)求证.ADFADE解:(1)含H的共有三组,即,,,AEHF;,,,BFHD;,,,.CDHE高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第六讲四点共圆》主编:贾广素60ABHCIO不含H的也有三组,即,,,BFEC;,,,CDFA;,,,.AEDB所以共有6组.(2)因为,,,CDFA四点共圆,故.BDFA又因为,,,AEDB四点共圆,故.EDCA从而.BDFEDC由等角的余角相等,知.ADFADE由结论(2)知锐角ABC的垂心H为DEF的内心.(2)若两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧,又有相等的顶角,则四顶点共圆.【例2】锐角ABC中,60,A且,,OIH分别为ABC的外心、内心和垂心.求证:.OIIH证明:易见2120,180120,90120,2ABOCABHCABIC且,,OIH均在BC的同侧,故,,,,BOIHC五点共圆.因为I为内心,所以ABICBI○1又AOB为等腰三角形,故11(180)(1802)90,22ABOAOBCCCBH即ABOCBH○2由○1-○2得,OBHHBI再由,,,,BOIHC五点共圆,得.OIIH(3)若四边形的两组对角互补,则四顶点共圆.【例3】(2005年华南师范大学硕士生入学考试试题)设△ABC是钝角三角形,其中A为钝角,三边上的高为AD,BE,CF,其中D、E、F为垂足,而H为△ABC的垂心.求证△DEF的内切圆圆心和3个旁切圆的圆心分别是A和B,C,H.证明:如图所示,由90BECBFC知,,,BCFE四点共圆于圆I,同理,,,HEDC共圆于圆II,,,,HFDB共圆于圆III.再由9090180BEABDA知,,,ADBE共圆于I.同理,,,,ADCF共圆于,,,,IIAEHF共圆于III.故ADEIABEIACFIIADF圆圆圆,,AFDIIACDIAFE圆圆.AEDIABDIAEF圆圆故A是DEF的内切圆的圆心.从而.BDKCDF又,.BDKCDFBDKBDKABCDKFHE高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第六讲四点共圆》主编:贾广素61即DB是DEF的一条外角平分线,显然EB也是DEF的一条外角的平分线,又FB是DEF的一条内角的平分线,所以点B是DEF的两条外角平分线和一条内角平分线的交点,即点B是DEF的1个旁切圆圆心.同理,点,CH也是DEF的另外2个旁切圆圆心.探究1:设⊙O1,⊙O2,⊙O3两两外切,Y是⊙O1,⊙O2的切点,R,S分别是⊙O1,⊙O2与⊙O3的切点,连心线O1O2交⊙O1于P,交⊙O2于Q.求证:P,Q,R,S四点共圆.(4)若四边形的一个外角等于它的内对角,则四顶点共圆,反之亦然.已知:四边形ABCD中,∠A+∠C=180°...