高二数学变系数递推式的特殊解法周华生与常系数递推式相比，变系数递推式的解法更为灵活，对能力的要求更高，近年来受到高考命题的青睐。本文介绍一些中学生使用起来比较方便的解法，期望对提高他们的解题能力有所帮助。一、一阶递推式对于一阶递推式，虽然有公式求，但使用起来并不方便，不如用如下解法更好。1.猜想归纳法例1.数列前n项的和为，已知，写出，并求关于n的表达式。解：时，，可得且，故可猜想。以下不难用数学归纳法证之（略）。2.不动点法若递推式存在不动点，则可借助不动点构造新数列求解。例2.已知，求。解：令（不动点），原数列化为从而。3.等价转换法可考虑将变系数递推式转化为常系数递推式来解。例3.解递推式，其中。解：令，则原数列化为①其中，①式的特征根为且①的特解为，代入①中得，得，故①的通解为，由得。所以，从而。即。例4.解递推式用心爱心专心解：原式变为①令，则①化为所以二、二阶递推式对于二阶递推式（1）若满足下列情形，可用特殊方法解。1.降价法当（1）可化为，其中，，可用递推法解。例5.（1990年巴尔干地区数学奥林匹克）设，对一切自然数n有，求所有能被11整除的值。解：令原数列化为令，原数列又化为，所以，所以，由此得，当时，因为能被11整除，故也能被11整除，所以所求答案为，和。例6.已知，求。解：由，原数列可化为从而，所以。用心爱心专心例7.已知。解：由，原数列可化为。所以，设，用累加法可得。所以2.化为常系数递推式例8.解递推式，求。解：原数列即，可化为①设，则①化为或②或令，则②又可化为，即，解得。所以。从而。例9.求方程的通项，。解：原方程即为令，则①又可化为②②的特征方程为，其特征根为。②的解为，又用心爱心专心从而，所以。三、分式递推式对于分式递推式，若，可用倒数法化为表示的数列来解。例10.（2006年江西高考题）已知满足，求通项。解：将原式两边取倒数化为故为等比数列，首项是，公比是，所以，解得。类似地对也可同法解之。四、高考综合题分析用上述所讲方法来考察近年来高考中的综合题有关变系数递推式的解法是十分有益的，下面分析如下。例11.（2005年重庆理科高考题）数列满足，（I）用数学归纳法证明；（II）已知不等式对成立，证明：，其中…分析：本题递推式属于，用数学归纳法可很方便地解决（I），而第（II）部份为利用题设中，需将放大（利用然后寻找对应数列的不动点来构造新数列便可计算出的上界。解：（I）略。（II）用数学归纳法易证，故。利用的不动点，可令，上述不等式可化为。所以，从2到n求和可得用心爱心专心从而，即，故，显然，，从而有都成立。例12.（2006年福建高考理科压轴题）已知数列满足，（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，证明是等差数列；（III）证明分析：本题第一部分用不动点法很方便，第二部分利用（I）结论得变系数递推式后可用阶差法、不动点法或猜想归纳法之一便可解之，第三部分应用放缩法可证之。解：（I）由。（II）解法1（阶差法），由已知得所以①又，②得，可得③且，④得所以为等差数列。解法2（不动点法）解法1中③的不动点为，③可化为由③令，得，所以，所以为常数数列，即为等差数列。（III）首先所以。又求和可得。所以用心爱心专心用心爱心专心
