高三数学参数方程（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：参数方程二.重点、难点：1.圆2.圆3.椭圆4.双曲线5.抛物线6.直线7.圆的渐开线8.摆线【典型例题】[例1]直角坐标系内P（），Q（），为参数，当变化时，求P、Q的轨迹。解：①设P（）∴（为参数）∴轨迹为直线②设Q（x，y）（t为参数）∴轨迹为抛物线[例2]将下列参数方程化为普通方程：（1）（t为参数，）（2）（k为参数，且）（3）（为参数，）用心爱心专心（4）（t为参数，）（5）（k为参数，）（6）（为参数，）（7）（为参数）（8）（k为参数，）解：为了记述方便，分别把每题中上面一个方程记作①，下面一个方程记作②。（1）由①得，∴代入②，得，又∴所求普通方程为（2）把①代入②的平方得，即为所求（3）当时，②÷①得，把代入①的平方有整理得注意到时，，点（0，0）显然在此曲线上∴所求方程是（4） ，可令原参数方程化为（为参数）消去参数得注意到由①得，∴∴所求普通方程为（5）两式相除得，代入①得，即用心爱心专心由①知，∴∴为所求普通方程。（6）由②得，再把①代入此方程得注意到∴所求普通方程为（7）由①得由②得注意到∴∴所求普通方程为（8）由①得当时，②÷③得，代入③得当k=0时，x=1，y=0，把（1，0）代入上式可验证（1，0）是④的一组解注意到，且，且不含（1，－1）点∴所求普通方程为（，且，且扣除点（1，－1））[例3]写出过点A（1，－2），倾角为45°的直线的参数方程，如图所示，若与：相交于B，（1）求，（2）求点B的坐标。解：对来说，其上的定点为A（1，－2），倾角为45°，动点为（x，y），则它的参数方程为，即①（1）欲求，可利用①先算出有向线段的数量t，则把①代入的方程，得用心爱心专心解得∴（2）欲求点B的坐标，由①，只要令即可∴∴点B的坐标为（）[例4]已知直线（t为参数），则该直线的倾斜角是（）A.20°B.70°C.110°D.160°解析：解法一：由直线方程知此直线过定点（3，0），那么它的斜率=∴该直线的倾斜角为110°，故选C。解法二：在方程中消去参数得这条直线的普通方程为∴∴该直线的倾斜角为110°，故选C解法三：把直线的参数方程化为标准参数方程∴此直线的倾斜角为110°，故选C。[例5]设椭圆中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求出椭圆上到P点距离等于的点的坐标。分析：椭圆上与P点距离为的点坐标可用参数方程表示。解：设椭圆方程 ∴，椭圆方程为设椭圆上点M（）（），到P点距离为则当，时，有最大值为7，解得，这与矛盾∴必有成立当时，有最大值7∴用心爱心专心∴椭圆方程为由，可得椭圆上与P距离为的点为[例6]已知椭圆（为参数）上一点P，OP的倾斜角为，求P点坐标。分析：注意椭圆上一点与中心连线的倾斜角与离心角的区别。解法一：设（可以取负值）则∴P（） 将P点坐标代入得∴，∴有P（）或P（）解法二：设P（），则∴，∴有P（）或P（）[例7]过点P（－2，4）作倾斜角为135°的直线与抛物线（，）相交于不同两点A和B，若成等比数列，求此抛物线方程。分析：题中三条线段均和定点有关，故可用直线的参数方程，利用的几何意义找出关系式。解：令：（t为参数），代入，得∴ ，即当时，有∴或 ，∴，∴（舍去），用心爱心专心当时，，无解∴抛物线方程为[例8]求过椭圆的焦点，斜率为2的弦长及弦中点到该焦点的距离。解法一： 原方程化为，令得在中，F′的坐标为（0，）∴∴，∴又设弦的中点Q（x，y），∴中点Q到相应的焦点的距离解法二：利用参数方程，在系中有（t为参数），与联立，得∴∴，焦点到弦中点的距离[例9]已知，求：（1）的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值。（1）解法一： ∴∴当时，已知曲线是椭圆方程∴，解法二：令椭圆参数方程为（为参数）∴又 ，∴当时，用心爱心专心当时，[例10]过抛物线的顶点O引互相垂直的两弦OA，OB，求O在AB上的射影H的轨迹方程。解析：考虑题中条件“垂直”及“A、B在上”，若设OA的斜率为，则可得出直线及直线OH的方程，H是这两直线交点，故可采用交轨法；若考虑上点的横、纵坐标关系，利用抛物线参数方程，则可使用参数法（...
