§10.导数的综合应用【考点透视】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.题型一:利用导数定义求极限例1.已知f(x)在x=a处可导,且f′(a)=b,求下列极限:(1);(2)解:(1)(2)题型二:利用导数几何意义求切线方程例2.已知曲线,曲线,直线与都有相切,求直线的方程。解:设直线与的切点分别为,用心爱心专心又或,的方程为:或。题型三:利用导数研究函数的单调性、极值、最值。例3、函数的值域是_____________.解答过程:由得,,即函数的定义域为.,又,当时,,函数在上是增函数,而,的值域是.例4.已知函数的切线方程为y=3x+1。(Ⅰ)若函数处有极值,求的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函数在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围解:(1)由过的切线方程为:而过故 ③由①②③得a=2,b=-4,c=5∴(2)当又在[-3,1]上最大值是13。用心爱心专心①②(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又由①知2a+b=0。依题意在[-2,1]上恒有≥0,即①当;②当;③当综上所述,参数b的取值范围是例5.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.(1)当时,判断函数是否有极值;(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.[解答过程](Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.(Ⅱ),令,得.由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:x0+0-0+↗极大值↘极小值↗因此,函数在处取得极小值,且.要使,必有,可得.由于,故.②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:用心爱心专心+0-0+增极大值减极小值增因此,函数处取得极小值,且若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.(III)解:由(II)知,函数在区间与内都是增函数。由题设,函数内是增函数,则a须满足不等式组或由(II),参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有,即.综上,解得或.所以的取值范围是.例6:已知(1)当时,求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点,求a的取值范围.解:(1) ∴ ,∴又 二次函数的图象开口向上,∴在内,故在内是减函数.(2)设极值点为则用心爱心专心O0OPMBQxyA(6,0)当时, ∴在内在内即在内是增函数,在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点,且是极大值点.当时,同理可知,在内且只有一个极值点,且是极小值点.当时,由(1)知在内没有极值点.故所求a的取值范围为题型四:导数与解析几何、立体几何的结合。例7:所以如图所示,曲线段OMB是函数的图像,轴于A,曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P,交线段AB于Q.(1)试用表示切线PQ的方程;(2)设△QAP的面积为,若函数在上单调递减,试求出的最小值;(3),试求出点P横坐标的取值范围.解:(1)切线PQ的方程(2)令y=0得由解得.又0