高三数学函数的奇偶性（文）人教版VIP专享VIP免费

高三数学函数的奇偶性（文）人教版【本讲教育信息】一.教学内容：函数的奇偶性1.概念一般地，对于函数)(xfy（1）如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xfy就叫奇函数。（2）如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。注：①函数为奇函数或偶函数的一个必要条件是函数的定义域关于原点对称②对于)()(xfxf与)()(xfxf应从数形两方面理解值域的对称性定义域的对称性点),(yx的对称性，即函数图象的对称性)(),(),(),,()()()(),(),(),,()()(afbafbbaPbaPxfxfafbafbbaPbaPxfxfP与P均在)(xfy图象上③刻画的为函数的整体性质2.奇偶性的性质（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图象关于原点成中心对称图形，那么此函数是奇函数。证（）设函数)(xf是奇函数，则)()(xfxf，在函数)(xfy图象上任取一点P（)(,afa），则))(,(afaP即))(,(afaP也是图象上一点，而P是P关于原点O的对称点，所以函数y)(xf图象上任意一点关于原点的对称点都在)(xfy图象上，即)(xfy的图象关于原点成中心对称（）设)(xfy图象成中心对称，在)(xfy图象上任取一点P（)(,afa），则P关于原点的对称点P（)(,afa）也在)(xfy上 ax时，)()(afxf而函数值是唯一的，∴)()(afaf由x的任意性知，在)(xf的定义域内有)()(xfxf，故)(xf为奇函数（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反过来，若一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则此函数是偶函数。证明略。（3）如果)(xf和)(xg都是奇（偶）函数，则函数)()(xngxmf也是奇（偶）函数证：设)(xf，)(xg都是奇函数，设)()()(xngxmfx )(xf和)(xg都是奇函数∴)()()(xngxmfx)()(xngxmf)(x（)()(xgxf、都是偶函数同理可证）推论：①两个奇（偶）函数的和与差都是奇（偶）函数②奇（偶）函数与常数之积是奇（偶）函数③两个非零的一奇一偶函数之和既非奇函数又非偶函数对③设)(xf奇函数，)(xg偶函数，令)()()(xgxfxG（反证）若)()()(xgxfxG是奇函数，则)()()(xfxGxg是奇函数而与)(xg是偶函数矛盾，若)()()(xgxfxG是偶函数，则)()()(xgxGxf是偶函数与)(xf是奇函数矛盾，但非奇非偶函数的和、差、积、商可能是奇或偶函数，如1)(2xxxf，1)(2xxxg，gf偶，gf奇，gf偶（4）奇偶性相同的两个函数之积（商）为偶函数，而奇偶性相异的两个函数之积（商）为奇函数（证略）（5）函数)(xfy既是奇函数又是偶函数的充要条件是0)(xf证：)(xf既奇又偶)()(xfxf且)()(xfxf)()(xfxf0)(xf，且)(xf定义域关于原点对称，非恒为0函数，是奇则必非偶，是偶则必非奇。（6）如果定义在A上的奇函数)(xfy存在反函数)(1yfx，则反函数)(1yfx也是奇函数证：设)(xfy的值域B，则B即)(1yfx的定义域，设By0，则有唯一的Ax0，使得)(00xfy，从而有)(010yfx，又因)(xf是奇函数，所以000)()(yxfxf，从而有By0且有)()(01001yfxyf，即)(1yfx是奇函数。（7）定义在对称区间],[aa内的任何函数)(xf都可表示成一个偶函数与一个奇函数之和。证明：对于)(xf，令)]()([21)(xfxfxF，)]()([21)(xfxfxG则)()()(xGxFxf，而)()(xFxF，)()(xGxG即)(xF与)(xG分别为偶函数和奇函数，故命题得证（8）在复合函数)]([xgfy中①若)(xg为偶函数，则)]([xgf为偶函数②若)(xg为奇函数，)(xf为偶（奇）函数，则)]([xgf是偶（奇）函数（证明略）3.函数奇偶性的判定方法：（1）定义法：)()(xfxf或0)()(xfxf，)()(xfxf1（0)(xf）（2）图象法（3）性质法（1）定义法[例1]判断下列函数的奇偶性，并予以证明。（1）21121)(xxf（2）1111)(22xxxxxf证明：（1）)(xf的定义域),0()0,(，关于原点对称不妨取两个特殊值23)1(f，23)1(f，猜想)(xf是奇函数2121221121)(...