第2课时圆锥曲线中的综合问题A组基础题组时间:30分钟分值:45分1.(2017福建福州质量检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l.若射线y=2(x-1)(x≤1)与C,l分别交于P,Q两点,则=()A.B.2C.D.52.(2017广东广州五校协作体诊断考试)已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点,若·>0,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(,+1)B.(1,+1)C.(1,)D.(,+∞)3.已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点,过线段AB的中点作x轴的垂线,交抛物线C于点Q.若·=0,则p=.4.(2017安徽合肥模拟)已知点A在椭圆+=1上,点P满足=(λ-1)(λ∈R)(O是坐标原点),且·=72,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为.5.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.(2017湖北武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(1)若=6,求k的值;(2)求四边形AEBF面积的最大值.B组提升题组时间:20分钟分值:25分1.(2016课标全国Ⅲ理,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.2.(2017贵州适应性考试)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点P在椭圆E上,直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A,B两点.(1)求椭圆E的方程;(2)在x轴上是否存在定点M,使得·为定值?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.C由题意,知抛物线C:y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线l:x=-1,设l与x轴的交点为F1,过点P作直线l的垂线,垂足为P1,由得点Q的坐标为(-1,-4),所以|FQ|=2.又|PF|=|PP1|,所以====,故选C.2.B由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),M,N,所以=,=,所以·=4c2->0,∴b4-4a2c2<0,∴(c2-a2)2-4a2c2<0,两边同时除以a4得,(e2-1)2-4e2<0,又因为e>1,所以e∈(1,+1),故选B.3.答案解析联立抛物线x2=2py与直线y=2x+2的方程,消去y得x2-4px-4p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=16p2+16p>0,x1+x2=4p,x1x2=-4p,∴Q(2p,2p).∵·=0,∴(x1-2p)·(x2-2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0,即(x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)·(2x2+2-2p)=0,∴5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0,将x1+x2=4p,x1x2=-4p代入,得4p2+3p-1=0,解得p=或p=-1(舍去).4.答案15解析因为=(λ-1),所以=λ,即O,A,P三点共线,因为·=72,所以·=λ||2=72,设A(x,y),OA与x轴正方向的夹角为θ,线段OP在x轴上的投影长度为|||cosθ|=|λ||x|===≤=15,当且仅当|x|=时取等号.5.解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.解析(1)由题设条件可得,椭圆的方程为+y2=1,直线AB的方程为x+2y-2=0.设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x10),即k=时,等号成立.故四边形AEBF面积的最大值为2.B组提升题组1.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.2.解析(1)由题意,知=,+=1,又a2=b2+c2,解得a=,b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.(2)当直线AB不与x轴重合时,可设直线AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-.设M(t,0),若·=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(my1+1-t)·(my2+1-t)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(1-t)(y1+y2)+(1-t)2=--+(1-t)2=为定值,则2t2-4t+1=2(t2-2),解得t=.故存在定点M,使得·为定值-,经检验,当直线AB与x轴重合时也成立,所以在x轴上存在一个定点M,使得·为定值.
