高三数学专题复习专题16 空间角(教师版)VIP免费

专题16空间角Oab600★★★高考在考什么【考题回放】1．如图，直线a、b相交与点O且a、b成600，过点O与a、b都成600角的直线有（C）A．1条B．2条C．3条D．4条2．在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（A）A．300B．450C．600D．9003．直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=090，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（A）A．1030B．21C．1530D．10154．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于3．5．PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为33．6．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别为BC与A1D1的中点，用心爱心专心(1)求直线A1C与DE所成的角；(2)求直线AD与平面B1EDF所成的角；(3)求面B1EDF与面ABCD所成的角。【专家解答】(1)如图，在平面ABCD内，过C作CP//DE交直线AD于P，则CPA1（或补角）为异面直线A1C与DE所成的角。在ΔCPA1中，易得aPAaDECPaCA213,25,311，由余弦定理得1515cos1CPA。故异面直线A1C与DE所成的角为1515arccos。（2）ADFADE，∴AD在面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上。而B1EDF是菱形，∴DB1为∠EDF的平分线。故直线AD与面B1EDF所成的角为∠ADB1．在RtΔB1AD中，,3,2,11aDBaABaAD则33cos1ADB。用心爱心专心故直线AD与平面B1EDF所成的角为33arccos。O（3）连结EF、B1D，交于点O，显然O为B1D的中点，从而O为正方体ABCD—A1B1C1D1的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH为二面角B1-DE-A的平面角。在RtΔDOE中,23,22aODaOEaDE25，则由面积关系得aDEOEODOM1030。在RtΔOHM中630sinOMOHOMH。故面B1EDF与面ABCD所成的角为630arcsin★★★高考要考什么【考点透视】异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.【热点透析】1．转化思想：①线线平行线面平行面面平行,线线线面面面②将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证3．二面角的平面角的主要作法：①定义②三垂线定义③垂面法★★★高考将考什么【范例1】在0120的二面角a中，BA,，已知点A和B到棱的距离分别为2和用心爱心专心4，且AB=10。求（1）直线AB与棱a所成的角；（2）直线AB与平面β所成的角。解：（1）如图所示，在平面α内，过A作AC⊥α，垂足为C；在平面β内，过B作BD⊥β，垂足为D；又在平面β内，过B作BE//CD，连结CE，则∠ABE为AB与α所成的角，CE//BD，从而CE⊥α，∠ACE=1200，∠AEB=900。在ΔACE中，由余弦定理得022120cos2ECACECACAE72120cos42242022在RtΔAEB中，57sinABAEABE。故直线AB与棱a所成的角为57arcsin（2）过点A作AA，则垂足A在的另一半平面上。在RtΔAA′C中，360sin0ACAA。在RtΔAAB中，3sin10AAABAAB。故直线AB与平面β所成的角为103arcsin【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。【文】如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2．用心爱心专心D1C1B1CDBAA1EFE、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值．解：（I）以A为原点，1,,AAADAB分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11FDECDE设向量),,(zyxn与平面C1DE垂直，则有22tan36400411220101||||cos,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1(2),2,2(21023033101011011001...