三角形“四心”向量形式的充要条件应用一．知识总结1．重心(中线交点)①G是△ABC的重心证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=，得=，故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))②为△ABC的重心(P是平面上的点).证明 G是△ABC的重心∴==，即由此可得.(反之亦然(证略))【例1】已知向量，，满足条件++=，||=||=||=1，求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B组第6题)证明由已知+=-，两边平方得·=，同理·=·=，|∴|=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=且||=||=||.即O是△ABC所在平面内一点，++=且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.2．垂心(高线交点)H是△ABC的垂心由,同理，.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))若H是△ABC(非直角三角形)的垂心，则S△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanC故tanA·+tanB·+tanC·=3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)O是△ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线)若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C故sin2A·2sin2B·+sin2C·=4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)O是△ABC的内心充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记，，的单位向量为，则O是△ABC内心的充要条件可以写成·(+)=·(+)=(+)=O是△ABC内心的充要条件也可以是a·+b·+c·=若O是△ABC的内心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=;为△ABC的内心;向量所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)；*设P是△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC内心的充要条件是【例2】O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ[0∈，+∞)则P点的轨迹一定通过△ABC的(B)(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为和，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.5．外心与重心：O是△ABC的外心，G是重心，则6．外心与垂心：O是△ABC的外心，H是垂心，则证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴AD⊥AB，CD⊥BC.又垂心为H，AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故.7．重心与垂心：G是△ABC的重心，H是垂心，则用心爱心专心115号编辑ABCDGABCDHABCDOABCDOACB1e�2e�PGHQDAyC(x2,y2)FEB(x1,0)xABCMNG图18．外心、重心、垂心：O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心，则证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理，由此可得.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。【例3】在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,，即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2二．练习1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的(B)A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点分析：取AB边的中点M，则，由=(++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：2+2=2+2＝2＋2，则Ｏ为△ABC的(D)A.外心B.内心C．重心D．垂心3．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为△ABC的(C)A.外心B.内心C．重心D．垂心4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的(C)A.外心B.内心C.重心D．垂心5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：，则P点为三角形...
