三角函数的图象和性质（文）一周强化一、一周知识概述1、三角函数的图象2、三角函数的性质（1）正弦函数的性质——y=sinx的定义域是R，值域是[－1，1]，奇函数，在上递增，在上递减，在时，取最小值－1，在时，取最大值1（其中k∈Z）.用心爱心专心（2）余弦函数的性质——y=cosx的定义域是R，值域是[－1，1]，偶函数，在[2kπ，2kπ＋π]上递减，在[2kπ＋π，2kπ＋2π]上递增，在x=2kπ时取最大值1，在x=2kπ＋π时取最小值－1（其中K∈Z）.（3）正切函数的性质——y=tgx的定义域是，值域是R，奇函数，在上递增，没有最大、最小值（其中k∈Z）.（4）三角函数的周期①周期函数——对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期——对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期.③三角函数的最小正周期——y=sinx和y=cosx的最小正周期T=2π，y=tgx和y=ctgx的最小正周期T=π.3、函数y=sinx与y=Asin(ωx＋Φ)，(A＞0，Φ＞0)的比较.函数y=sinxy=Asin(ωx＋Φ)区别奇偶性奇当，k∈Z时，非奇非偶周期性T=2π单调性，k∈Z用心爱心专心，k∈Z极值对称性对称轴：对称中心：（kπ，0），k∈Z对称轴：对称中心：联系y=Asin(ωx＋Φ)的图像可以看作：把y=sinx的图像上所有的点向左（Φ＞0）或向右（Φ＜0）平移|Φ|个单位，再把所得点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍（横坐标不变）而得到．二、重、难点知识的归纳与剖析1、本周学习的重点（1）三角函数不等式的解法与三角函数单调区间的求法.（2）三角函数的最值问题.（3）三角函数的图象与性质的运用.（4）周期性、对称性在解题中的应用.2、本周学习的难点（1）正确、有效地运用三角函数的图象解决问题.（2）已知三角函数值求角.（3）对符号“arcsina”、“arccosa”、“arctana”的正确理解，及正确运用这三个符号表示角.用心爱心专心（4）三角函数的图象变换.三、例题点评例1、用五点法作出函数的图象，并说明它与y=sinx的图像间的变换关系.例2、（1）求函数的定义域、值域；（2）求函数的值域.例3、求下列函数的单调递减区间.用心爱心专心例4、已知函数f(x)=1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R.（1）求g(a)；（2）若，求a及此时f(x)的最大值.例5、已知y=f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R，有f(x＋2)[1－f(x)]=f(x)＋1成立.（1）证明y=f(x)是周期函数；（2）若f(1)=－2，求f(2005)的值.试题答案例1：解析：周期，振幅A=2，选取五点列表：x0π2πy020－20描点作图：用心爱心专心函数的图象可以看作是由下面的方法得到：先把y=sinx的图像上的所有的点向左平行移动个单位，得到的图像；再把的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像；再把的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），从而得到的图像.例2：解析：（1）由≥0，得sinx≤，通过作单位圆，知定义域为用心爱心专心即．当；当，所以函数的值域为评析：解最简单的三角不等式时应用单位圆或函数的图像.（2）解法一：设sinx=t，则，由|sinx|≤1，得≤1，解这个不等式，得y≥2或y≤解法二：，∴|sinx|≤1，且sinx≠－∴－＜sinx≤1时，0＜3sinx＋2≤5，∴，即y≤.用心爱心专心当－1≤sinx＜－时，－1≤3sinx＋2＜0，∴≤－1，即y≥2.评析：关于三角函数，除符合代数函数的所有关系和性质外，还要注意它自己的属性.例3：分析：求三角函数的单调区间，利用三角函数的图象，可以化抽象为直观.解答：故原函数的单调递减区间为.（2）要求的单调递减区间，即求（u>0）的单调递增区间.用心爱心专心故原函数的单调递减区间为.点评：求三角函数的单调区间，一般先利用诱导公式将x的系数和三角函数符号前的系数都化为正值，再利用三角函数的图象求单调区间.例4：解析：（1）若，即a＜－2时，则当cosx=－1时有最小值，；若－1≤≤1，即－2≤a≤2时，...
