第四节导数的综合应用A组基础题组1.(2016山东枣庄一模,10)设函数f(x)在R上存在导数f'(x),x∈R,∀有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f'(x)0),为使耗电量最小,则速度应定为.4.(2015北京,19,13分)设函数f(x)=-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.(2015天津,20,14分)已知函数f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N*,且n≥2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<+2.B组提升题组6.设函数f(x)=aex(x+1)(其中e=2.71828…),g(x)=x2+bx+2,已知它们的图象在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)判断函数F(x)=2f(x)-g(x)+2的零点个数.7.设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对任意的s,t∈都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B令g(x)=f(x)-x2(x∈R), g(-x)+g(x)=f(-x)-x2+f(x)-x2=0,∴函数g(x)为奇函数. x∈(0,+∞)时,g'(x)=f'(x)-x<0,故函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,可知g(x)在R上是减函数,∴f(4-m)-f(m)=g(4-m)+(4-m)2-g(m)-m2=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),∴4-m≤m,解得m≥2,故选B.2.Af'(x)=-k=(x>0).设g(x)=,则g'(x)=,则g(x)在(0,1)内单调减,在(1,+∞)内单调增.∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,选A.3.答案40解析易知y'=x2-39x-40.令y'=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,当040时,y'>0,所以当x=40时,y有最小值.4.解析(1)由f(x)=-klnx(k>0)得f'(x)=x-=.由f'(x)=0解得x=.f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下表:x(0,)(,+∞)f'(x)-0+f(x)↘↗所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞);f(x)在x=处取得极小值f()=.(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e.当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且f(1)=>0,f()=<0,所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.解析(1)由f(x)=nx-xn,可得f'(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1),其中n∈N*,且n≥2.下面分两种情况讨论:①当n为奇数时.令f'(x)=0,解得x=1,或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞)f'(x)-+-f(x)↘↗↘所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增.②当n为偶数时.当f'(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=,f'(x0)=n-n2.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0),即g(x)=f'(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0),则F'(x)=f'(x)-f'(x0).由于f'(x)=-nxn-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F'(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:不妨设x1≤x2.由(2)知g(x)=(n-n2)(x-x0).设方程g(x)=a的根为x'2,可得x'2=+x0.当n≥2时,g(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x'2),可得x2≤x'2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx.当x∈(0,+∞)时,f(x)-h(x)=-xn<0,即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)
