第七讲正弦定理和余弦定理基础自测1．若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则a∶b∶c＝________.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝________.3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为________．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．5．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.题型分类深度剖析探究点一正弦定理的应用例1(1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c；(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.探究点二余弦定理的应用例2已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tanA的值．探究点三正余弦定理的综合应用例31.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．12.在△ABC中，＝.(1)证明：B＝C；(2)若cosA＝－，求sin的值．课时规范训练七班级姓名1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.2．在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为________．3．在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，则∠BAC的大小为________．4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为______________．5．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.26．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．8．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.(1)求sinA的值；(2)求的值．第七讲正弦定理和余弦定理基础自测31．5∶11∶132.30°3.4.5．1题型分类深度剖析例1解(1)由正弦定理＝得，sinA＝.∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.综上，A＝60°，C＝75°，c＝，或A＝120°，C＝15°，c＝.(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理＝＝，得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4.例2解(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝.∵0a，∴B>A，∴cosA＝＝.∴tanA＝＝.方法三∵c＝3a，由正弦定理，得sinC＝3sinA.∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，∴sin(－A)＝3sinA，∴sincosA－cossinA＝3sinA，∴cosA＋sinA＝3sinA，∴5sinA＝cosA，∴tanA＝＝.例31.解方法一∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)⇔a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．方法二同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2b×＝b2a×，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．2.证明在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.因为－π
