简述如何使用函数对称性解题————河南、邹鹏一、用函数自身的对称性解题定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点， 点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0) f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明： 函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）又 函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。二、用不同函数的对称性解题定理4.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。三、用三角函数图像的对称性解题函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)无注：①上表中k∈Z②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。四、举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解： f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。解： y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001故f(4)=2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第...
