高三数学 第五篇 第二节 空间图形的基本关系与公理课时精练 理 北师大版VIP免费

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面【解析】由题意，连接B1C，则F∈B1C，且F为B1C中点．连接AC，∴EF为△B1AC的中位线，∴EF∥AC.∵AC⊥BB1，AC⊥BD，AC∥A1C1，∴A、B皆成立，D不成立．EF⊂面B1AC，DC⊄面B1AC，且C∉EF，∴EF与DC是异面直线，C成立．【答案】D2．下列命题中正确的是()A．经过不同的三点有且只有一个平面B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C．垂直于同一平面的两直线是平行直线D．垂直于同一平面的两平面是平行平面【解析】A中当三点共线时，有无数个平面；B中只有当不在任何一个平面内时，两直线才是异面直线；D中两平面也可能相交．【答案】C3．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A．12对B．24对C．36对D．48对用心爱心专心【解析】如图，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线=24对．【答案】B4．如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()【解析】在A图中分别连接PS、QR，易证PS∥QR，∴P、S、R、Q共面；用心爱心专心在C图中分别连接PQ、RS，易证PQ∥RS，∴P、Q、R、S共面．如图，在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形，故四点共面，D图中PS与RQ为异面直线，∴四点不共面，故选D.【答案】D5．正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】如图，取PB中点N，连接CM、CN、MN.∠CMN为PA与CM所成的角(或所成角的补角)，设PA=2，则CM=，MN=1，CN=，∴cos∠CMN=.故选C.【答案】C二、填空题用心爱心专心6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【解析】如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．【答案】(2)、(4)7．(2009年云南模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．【解析】在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角，设AB＝1，则A1A＝，∴B1A＝，AH＝BD＝，∴cos∠B1AH＝＝，∴∠B1AH＝60°.【答案】60°8．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．【解析】如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝，如图②，故AC的取值范围是0