第63练椭圆的定义与标准方程训练目标(1)理解椭圆的定义，能利用定义求方程；(2)会依据椭圆标准方程用待定系数法求椭圆方程．训练题型(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆定义的应用；(3)求参数值．解题策略(1)定义法求方程；(2)待定系数法求方程；(3)根据椭圆定义及a、b、c之间的关系列方程求参数值.一、选择题1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．52．(2016·天津红桥区一模)已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为，则椭圆C的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝13．(2017·兰州质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O为坐标原点，若|OP|＝|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.4．(2016·衡水模拟)已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P的坐标为()A．(－2,0)B．(0,1)C．(2,0)D．(0,1)或(0，－1)5．(2016·三明模拟)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为()A．30B．25C．24D．406．(2017·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝17．(2016·衡水冀州中学月考)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1，x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()A.B.C．2D.8．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为()A.＋＝1B.－＝1C.－＝1D.＋＝1二、填空题9．(2016·池州模拟)已知M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为________．10．(2016·豫北六校联考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为____________．11．(教材改编)已知点P(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上，则x2＋2y的最大值f(b)＝__________________.(用含b的代数式表示)12．(2016·合肥一模)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________.答案精析1．A[由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]2．C[由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝＝，解得a＝2，故b＝＝2，因为焦点在y轴上，故选C.]3．C[由|OP|＝|F1F2|，且|PF1||PF2|＝a2，可得点P是椭圆的短轴端点，即P(0，±b)，故b＝×2c＝c，故a＝c，即离心率e＝＝，故选C.]4．D[由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤2＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，即P(0，－1)或P(0,1)时，取“＝”．]5．C[ |PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. |F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2.∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.]6．A[设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.]7．A[由e＝＝，得a＝2c，所以b＝＝c，则方程ax2＋2bx＋c＝0为2x2＋2x＋1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，则点P(x1，x2)到原点的距离为d＝＝＝＝，故选A.]8．D[圆F的方程转化为标准方程得，(x－1)2＋y2＝12⇒F(1,0)，半径r＝2，由已知可得|FB|＝|PF|＋|PB|＝|PF|＋|PA|＝2>2＝|AF|⇒动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆⇒a＝，c＝1⇒b2＝a2－c2＝2⇒动点P的轨迹方程是＋＝1，故选D.]9．8解析依题意得，a＝2，M(，0)与F(－，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆的左焦点F(－,0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.10.＋＝1解析设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，C，F(，0)，依题意，得＝，所以M，由于O，C，M三点共线，所以＝，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2，所以所求的椭...
