高三数学 第56练 向量法求解立体几何问题练习-人教版高三全册数学试题VIP免费

第56练向量法求解立体几何问题训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题．训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离．解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.(2016·吉林实验中学质检)如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．2．(2017·上饶月考)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.3.(2017·南昌月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．4．(2017·太原质检)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是.答案精析1．(1)证明因为平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直．以B为原点，BA，BP，BC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以EM＝.易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,1,0)，所以EM·n＝·(0,1,0)＝0，所以EM⊥n.又EM⊄平面ABCD，所以EM∥平面ABCD.(2)解当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下：因为PD＝(2，－2,1)，CD＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得取y1＝1，得平面PCD的一个法向量为n1＝(0,1,2)．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值为.设PN＝λPD(0≤λ≤1)，则PN＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)，BN＝BP＋PN＝(2λ，2－2λ，λ)．所以sinα＝|cos〈BN，n1〉|＝＝＝＝.所以9λ2－8λ＋4＝5，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.2．证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别为(，，0)，(0,0,1)．所以NE＝(－，－，1)．又点A，M的坐标分别是(，，0)，(，，1)，所以AM＝(－，－，1)．所以NE＝AM，且NE与AM不共线．所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝(－，－，1)，因为D(，0,0)，F(，，1)，所以DF＝(0，，1)．所以AM·DF＝0，所以AM⊥DF，所以AM⊥DF，同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，所以AM⊥平面BDF.3．(1)证明取AB的中点O，连接OD，OB1.因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1⊂平面B1OD，B1D⊂平面B1OD，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知条件知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1.因为AB∩BB1＝B，AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，所以OD⊥平面ABB1A1.因为OD⊂平面ABC，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，OB，OD，OB1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|OB|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系，连接B1C.由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，∴B1D＝(0,1，－)，B1B＝(1,0，－)，CC1＝(－1,0，)，B1C＝(1,2，－)，设CE＝λCC1(0<λ<1)，由B1E＝B1C＋CE＝(1－λ，2，(λ－1))，设平面BB1D的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则得令z1＝1，则x1＝y1＝，所以平面BB1D的法向量为m＝(，，1)．设平面B1DE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则得令z2＝1，则x2＝，y2＝，所以...