上教考资源网助您教考无忧高三数学用向量方法求空间角和距离【教学目的】通过训练，帮助学生回顾以前所学用向量方法求空间角和距离，并对知识有一个较为系统的认识和提高。【教学重点】复习、回顾、提高【教学难点】知识的迁移和升华【教学课时】2课时【教学过程】高考分析在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．知识回顾1、空间角问题分析：空间的角主要有异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角（２）求线面角设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角（３）求二面角法一、在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角版权所有@中国教育考试资源网上教考资源网助您教考无忧法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角2、空间距离问题分析：构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离法一、设是平面的法向量，在内取一点B,则A到的距离法二、设于O,利用和点O在内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出．（２）求异面直线的距离法一、找平面使且则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设、分别为异面直线a、b的方向向量,（，），则异面直线a、b的距离（此方法移植于点面距离的求法）．应用举例：（小黑板展示题目）例１．如图，在棱长为２的正方体中，E、F分别是棱的中点．版权所有@中国教育考试资源网上教考资源网助您教考无忧（Ⅰ）求异面直线所成的角；（II）求和面EFBD所成的角；（III）求到面EFBD的距离分析：结合图形口头分析（板书）解：（Ⅰ）记异面直线所成的角为，则等于向量的夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系，则，设面的法向量为由得又记和面EFBD所成的角为则∴和面EFBD所成的角为．（III）点到面EFBD的距离ｄ等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，版权所有@中国教育考试资源网上教考资源网助您教考无忧学法指导：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．例2．如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形是矩形，（Ⅰ）若＝１，求直线AB到面的距离．（II）试问：当的长度为多少时，二面角的大小为分析：结合图形口头分析（板书）解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系，则设面的法向量为则得直线AB到面的距离ｄ就等于点Ａ到面的距离，也等于向量在面的法向量上的投影的绝对值，（II）易得面的法向量向量的夹角为版权所有@中国教育考试资源网上教考资源网助您教考无忧由得当＝１时，二面角的大小为．学法指导：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．２．通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．例３．正三棱柱的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱上任意一点．（Ⅰ）求证：直线不可能与平面垂直；（II）当时，求二面角的大小．分析：结合图形口头分析（板书）证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系，设则的坐标分别为，不垂直直线不可能与平面垂直．（II），由，得即又是面的法向量版权所有@中国教育考试资源网上教考资源...
