高三数学 复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义 知识精讲VIP免费

高三数学复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义知识精讲一.复数的概念1.复数、实数、虚数、纯虚数的概念2.两复数相等的充要条件abicdiacbdabcdR且（）,,,3.复数是实数、虚数或纯虚数的充要条件设zabiabR（），则,zRbzzzbzabzzz000000；为虚数；为纯虚数且（）.4.共轭复数的概念和性质zzzzzz；；22zabiabRzzazzbi(,),.22zzzzzzzzzzzzzzzzz121212121212121220（可推广到有限个）；；（可推广到有限个）。（）().5.复数的辐角和模的性质，向量长度复数辐角的概念及辐角主值范围；复数模的性质：abiab22（1）zz||；（2）zzzzzz121212；（3）zzzz1212；（4）zzzzz121220().二.复数的三角形式1.复数三角形式的特点；2.复数的代数形式与三角形式的互化；3.复数的模和辐角（主值）复数的辐角或辐角主值及其范围的确定有以下三种常用的方法：（1）将一个复数表示为三角形式后再确定；（2）利用复数乘除法的几何意义；（3）利用复数与复平面上的点或向量的对应关系及数形结合，转化为几何问题。Www.chinaedu.com0014期版权所有不得复制14.注意以下两点：（1）复数zri(cossin)是一个三角形式所必须满足的三条件：（a）rbzrr0；（）的实部是，虚部是；cossin（c）它们分别是同一个角的余弦和正弦。（2）复数辐角主值的范围是02argz在解题时，必须注意这一点。（三）复数的几何意义1.主要内容（1）掌握复数在平面上的几何表示；（2）熟悉复平面内常见的轨迹的复数方程，加深对复数的模及辐角概念的直观理解。2.重点难点（1）复平面上的图形和轨迹问题，即如何根据复数z所满足的条件来确定其对应点集的图形和轨迹。（2）探求复平面内点集的形状或轨迹一般有以下两条途径：①设zxyixyRxy(,),根据条件求得关于方程（即轨迹的普通方程）；②结合复平面上的基本轨迹方程，运用整体思想，寻求复数z所具有的特征或满足的方程。1.（上海高考题）已知复数zzzzzzizz1212121211232,满足且，求，值。［解析］由题意可设zizi12cossin,cossin.zzi12221232121322121212312221242222325,coscos,sinsin.cos(),coscossinsincoscos,sincos,（）（）由（）（）得即，（）由（）得（）由（）得（）（）（）得，所以即，（）（）（）得，或将代入（）得又则将代入（）得。而代入（）得不合，舍去。当同理可得，542312126362000023201111211320123212tancos(),coscossinsinsinsinsinsin.sinsinsin,coscoscoscoscossinziz1,说明：本题主要考查了复数的模，三角形式以及有关三角恒等变换的知识，考查学生的综合思维和运算能力，对考生的数学素质要求较高。［范题2］（1995·全国）求复数zz2的模和辐角。［解析］zzii22(cossin)cossinWww.chinaedu.com0014期版权所有不得复制2cossincossin(coscos)(sinsin)coscos(sincos)cos(cossin)coscos()sin()(,),(,),cos,cos22222322232222323222323222222022212iiiiiizzk所以复数的模为，辐角为（）32()kZ本题主要考查模与辐角的概念和求法，及基本运算能力。［范题2］（1992·全国）已知复数z的模为2，则zi的最大值为（）A.1B.2C.5D.3［解析］解法1：zzizi23，.故选D。解法2：设ziiz则,iz2而表示以点（，）为圆心，以为半径的圆，由图知，圆上到原点的距离以0122OP为最大，最大值是3，故选D。yχAA′O′O图1yχ-1O图2说明：求模的最值要注意模的几何意义的应用。数形结合的思想方法在这里得到了完美的体现，考生应具备这方面的素养...