高三数学双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1.双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。2.双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上图形几何性质范围或或对称性关于轴、轴、原点对称（原点为中心）顶点轴实轴长，虚轴长离心率准线用心爱心专心116号编辑渐近线通径通径长中心原点对称轴x轴、y轴焦半径公式P（x1，y1）在左支上。P（x1，y1）在右支上。P（x1，y1）在下支上。P（x1，y1）在上支上。3.等轴双曲线：实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x轴上，标准方程为；焦点在y轴上，标准方程为。其渐近线方程为y＝±x。等轴双曲线的离心率为。4.基础三角形：yF2F1OAxcBab如图所示，△AOB中，。5.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线xayb22221（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为，若0，则双曲线的焦点在轴上；若0，则双曲线的焦点在轴上。说明：（1）在双曲线有关计算和证明中首先分清双曲线焦点在轴上，还是在轴上，中心是否在原点。（2）在解与双曲线有关的问题时，注意利用定义及各元素之间的相互依赖关系（如：等）。（3）使用韦达定理求某些参数时，要注意利用判别式△≥0或（△>0）来限制参数的取值范用心爱心专心116号编辑围，否则，会出现错误。（4）依题意判断曲线是双曲线的一个分支，还是整个双曲线。（5）双曲线是具有渐近线的曲线。要熟练掌握以下两个问题：①已知双曲线方程，可将“１”换为“０”，求出渐近线方程。②已知渐近线方程为，可设双曲线的方程为，再利用其它条件确定的值。（6）研究直线与双曲线公共点个数时，要注意直线是渐近线或与渐近线平行时的情形，不能直接用判别式，应分类讨论。【解题方法指导】例1.焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程。解析：因双曲线的渐近线方程为，故设双曲线方程为当0时，∴，∴焦点坐标为根据点到直线的距离公式有，得此时双曲线方程为当0时，双曲线方程可化为即，故焦点坐标为（0，23）根据点到直线的距离公式有33，得此时双曲线方程为评述：必须对进行讨论，当0时，要将方程化为标准形式，否则容易导致错误。用心爱心专心116号编辑例2.如图所示，经过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求：（1）|AB|；（2）△F2AB的周长（F2为双曲线的右焦点）。yB-22F1OF2xA解析：（1）双曲线焦点F1（-2，0）、F2（2，0）直线AB方程，代入曲线方程，得设A（x1，y1）、B（x2，y2）∴∴或者根据双曲线第二定义得∴（2）由双曲线第二定义得，∴△F2AB的周长为。评述：求两点间距离用弦长公式是一般方法，此题是“焦点弦”问题，如果应用“焦点弦”结论，则需要考虑弦的两个端点的情况。一般地，有如用心爱心专心116号编辑下两种情况：（1）如果两个交点分别在左右两支上，则；（2）如果两个交点在同一支上，则。例3.已知双曲线，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P。（1）求证：；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围。ylDPEOABxF解析：证法一：由题意知直线的方程为由，解得 成等比数列，∴∴∴∴，用心爱心专心116号编辑∴，∴证法二：由，∴轴∴∴（2）由，得即 l与双曲线左、右两支分别相交于点D、E设∴即bacaa22222，∴e22，即评述：渐近线是双曲线的特有性质，由焦点向渐近线引垂线，垂足...
