专题6：三角恒等变换与解三角形（两课时）一、前测训练1．(1)已知cos(α＋)＝，α∈(0，)，则cosα＝；sin(α＋)＝；，cos(2α＋)＝．答案：（＋2）；；（2－）(2)已知cos(＋x)＝，＜x＜，则xxxtan1sin22sin2＝．答案：(3)10cos1)10tan31(80sin50sin2＝．答案：2(4)已知tan(＋)＝．则2cos1cos2sin2＝．答案：－2．(1)在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，则C＝；a＝．答案：300；2(2)在△ABC中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，则b＝；c＝．答案：3或5；5或3(3)如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD＝10，AB＝14，BDA＝60，BCD＝135，则BC＝.答案：83．(1)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC的形状为．答案：等腰或直角三角形(2)在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则△ABC的形状为．答案：等腰三角形二、方法联想1．三角变换基本想法(1)角：观察角的联系，实现角的统一．(2)名：弦切互化，异名化同名．形：公式变形与逆用．幂：平方降幂，根式升幂．解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．注意判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．2．三角形中边角计算方法正、余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑用余弦定理，两边两角考虑用正弦定理．3．边角转化、角角转化方法关于含有边角的关系式，利用(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或(2)cosA＝等进行边角互化，即边化角或角化边．方法角角转化，即利用A＋B＋C＝π消元实现三角化两角，若已知一个角，可以将两角化一角．三、例题分析[第一层次]1例1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=cosBb.(1)求sinsinCA的值；(2)若cosB=14，△ABC的周长为5，求b的大小．解(1)sinsinCA=2.(2)b=2.〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：边角互化问题①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；②利用cosA＝等将余弦化为边；③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．方法选择与优化建议：1、对于等式cosA-2cosC2c-a=cosBb的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sin2sinCA；2、利用cosA＝等将等式cosA-2cosC2c-a=cosBb的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法②．3、等式cosA-2cosC2c-a=cosBb可以化为bcosA＋acosB＝2(bcosC+ccosB),即c=2a,，所以可以选择方法③．(2)主要问题归类与方法：求边长①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．方法选择与优化建议：因为从第一问已经可以得到c=2a，又a＋b＋c＝5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比较方便．例2已知函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx．（1）求函数f(x)在[－，]上的值域；（2）在△ABC中，若f(C)＝2，2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，求tanA的值．解（1）函数f(x)在[－，]上的值域为[0，3]．（2）tanA＝．〖教学建议〗（1)主要问题归类与方法：将已知函数转化为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数．方法选择与优化建议：平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点．（2）主要问题归类与方法：三角形中求某一个角的三角函数值，①正弦定理②余弦定理③三角恒等变形2方法选择与优化建议：本题没有边的的条件，所以方法①②不作考虑；注意到角C已知，又A＋B＋C＝π，因此本题可化为只有一个只有未知角A；利用第第二个条件2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，化为只有一个未知量角A的方程解决．例3如图所示，在半径为2、圆心为45的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接平行四边形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ,平行四边形PNMQ的面积为s．(1)求这s与之间的函数关系；(2)求s的最大值及相应的的值．解（1）S=(2cos2sin)2sin=24sincos4sin,(0,)4（2）当8时，max22...
