高三数学三角函数的最值与给角求值知识精讲通用版【本讲主要内容】三角函数的最值与给角求值y＝asinx+bcosx型函数最值的求法、已知三角函数求角。【知识掌握】【知识点精析】1.y＝asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y＝sin（x+）2.y＝asin2x+bsinx+c型新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆常通过换元法转化为y＝at2+bt+c型3.y＝型（1）当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）＝型（2）转化为直线的斜率求解新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（特别是定义域不是R时，必须这样作）4.已知三角函数求角：求角的多值性法则：1.先决定角的象限。2.如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x；如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x。3.由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。【解题方法指导】例1.求函数y＝cotsinx+cotxsin2x的最值。新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题。解：y＝·sinx+·2sinxcosx＝2（cosx+）2+ sinx≠0，∴cosx≠±1∴当cosx＝－时，y有最小值，无最大值点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件。例2.求函数y＝的最大值和最小值。分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）。解法一：去分母，原式化为sinx－ycosx＝2－2y，第1页版权所有不得复制1即sin（x－）＝故≤1，解得≤y≤∴ymax＝，ymin＝解法二：令x1＝cosx，y1＝sinx，有x12+y12＝1新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可。由＝1，得k＝∴ymax＝，ymin＝评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此要有足够的重视。例3已知函数的定义域为，值域为[－5，1]，求常数的值。解： ，∴，∴当a>0时，b≤f（x）≤3a+b∴解得当a<0时，3a+b≤f（x）≤b∴解得故a、b的值为或点评：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响。例4求适合下列关系的x的集合。第2页版权所有不得复制2（1）（2）（3）解：（1）∴所求集合为（2）所求集合为（3）【考点突破】【考点指要】在有关三角函数的小题中，其考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。【典型例题分析】例1.（2006年上海春卷）已知函数。（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域。分析与解：（1）（2），，∴函数的值域为例2.（2006年陕西卷）已知函数（I）求函数的最小正周期；（II）求使函数取得最大值的集合。第3页版权所有不得复制3分析：结合三角化简的公式，将题目转化为形式。解答：解（Ⅰ）f（x）＝sin（2x－）+1－cos2（x－）＝2[sin2（x－）－cos2（x－）]+1＝2sin[2（x－）－]+1＝2sin（2x－）+1∴（Ⅱ）当f（x）取最大值时，，有即∴所求x的集合为【达标测试】一.选择题：1.（05全国卷Ⅰ）当时，函数的最小值为（）A.2B.C.4D.2.（05浙江卷）已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（）A.1B.－1C.2k＋1D.－2k＋13.若0＜α＜2π，则满足5sin2α－4＝0的α有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.满足sin2x＝的x的集合是（）A.｛x｜x＝ｋπ＋（－1）ｋ，ｋ∈Z｝B.｛x｜x＝2ｋπ±，ｋ∈Z｝C.｛x｜x＝ｋπ＋，ｋ∈Z｝D.｛x｜x...
