湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5}B．{4，5，6}C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x＜6}2．（6分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．64．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）1A．1008B．2015C．1007D．﹣10077．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数fp（x）=，则称函数fp（x）为f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．fp=fB．fp=fC．f=fpD．f=fp9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；2（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（13分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn＞0的所有正整数n．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5}B．{4，5，6}C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x＜6}3考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．解答：解： 集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．故选B．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．2．（6分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∀x∈R，ex＞0，即可判断出正误；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．解答：解：A．∀x∈R，ex＞0，因此是假命题；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）...
