第十二章（理） 第二节 数列的极限VIP免费

第十二章（理）第二节数列的极限题组一求数列的极限1.limn＝()A．1B.C.D．0解析：原式＝limn＝limn＝.答案：B2．limn[n(1－)(1－)(1－)…(1－)]＝()A．0B．1C．2D．3解析：原式＝limn(n××××…×)＝limn＝2.答案：C3．an是(1＋x)n展开式中含x2的项的系数(n≥2)，则limn(＋＋…＋)＝()A．2B．0C．1D．－1解析：an＝C＝，∴＝2(－)(n≥2)，∴limn(＋＋…＋)＝limn2(1－)＝2.答案：A4．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则limn的值是________．解析：∵an＝4n－，∴a1＝，∴Sn＝＝2n2－∴a＝2，b＝－，∴limn＝1.答案：15．(2009·陕西高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则limn＝_____.解析：由题意知1解得∴Sn＝2n＋×2＝n2＋n.∴lim＝lim＝1.答案：1题组二含参数的数列极限问题6.若limn[1－()n]＝1，则b的取值范围是()A.＜b＜1B．－＜b＜C．b＜D．0＜b＜解析：由题意知||＜1，b2＜(1－b)2，解之得b＜.答案：C7．已知Sn＝2＋kan为数列{an}的前n项和，其中k为不等于1的常数．(1)求an；(2)若limnSn＝2，求k的取值范围．解：(1)当n＝1时，a1＝2＋ka1，∴a1＝，当n≥2时，Sn＝2＋kan，Sn－1＝2＋kan－1，∴an＝k(an－an－1)，∴an＝an－1.若k＝0，则an＝若k≠0，则{an}是以a1＝为首项，q＝为公比的等比数列，从而an＝()n－1.(2)显然，当k＝0时，limnSn＝limn2＝2.当k≠0时，∵limnSn＝2，∴limn(2＋kan)＝2，即limn[2＋()n－1]＝2，也就是limn[－2()n]＝0，∴||＜1，解得k＜且k≠0.综上可得：k∈(－∞，)．题组三数列极限的综合应用8.(2009·湖北高考)设(＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则lim[(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2]＝()A．－1B．0C．1D.解析：令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n＝(－1)2n①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝(＋1)2n②2①＋②得a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝②－①得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝∴lim[(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2]＝lim{[]2－[]2}＝lim＝lim＝lim()n＝0.答案：B9．设＜θ＜，则lim的值是()A．－cosθB.C．1D．－1解析：∵＜θ＜，∴|cosθ|＞|sinθ|，∴||＜1.∴limn＝limn＝－cosθ.答案：A10．边长为1的一个正三角形的三边中点连线组成第2个正三角形，再将第2个正三角形的三边中点连成第3个正三角形，如此无限继续，则所有这些三角形的周长和为________，所有这些三角形的面积和为________．解析：周长C＝limn(3＋＋＋…＋)＝6，面积S＝limn[12×＋()2·＋()2·＋…＋()2·]＝.答案：611．已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足：f(0)＝0，且当x∈(n－1，n]时，f(x)＝n[x－(n－1)]＋f(n－1)，其中n∈N*.求limn[＋＋…＋]的值．解：由已知，f(n)＝n＋f(n－1)，即f(n)－f(n－1)＝n.又f(0)＝0，∴f(n)＝f(0)＋[f(1)－f(0)]＋[f(2)－f(1)]＋…＋[f(n)－f(n－1)]＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴＝＝2(－)，∴limn[＋＋…＋]＝limn2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝limn2(1－)＝2.3