第十二章（理）第一节数学归纳法及其应用题组一证明等式问题1.某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则有()A．当n＝4时，该命题成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝6时，该命题不成立解析：因为当n＝k(k∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，所以当n＝5时，该命题不成立，则一定有n＝4时，该命题不成立．答案：C2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析：当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋2221(1)(1)kkk个，增加了2k＋1项．答案：D3．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2[1＋－1]＝1，左边＝右边，等式成立．假设n＝k时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．1题组二证明不等式问题4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k＜5，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4，均有f(k)≥k2成立解析：由题意设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”，因此，对于A，不一定有k＝1,2时成立.对于B、C显然错误．对于D， f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，有f(k)≥k2成立．答案：D5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设．答案：D6．已知数列{an}满足：a1＝－，a＋(an＋1＋2)an＋2an＋1＋1＝0.求证：(1)－1＜an＜0；(2)a2n＞a2n－1对一切n∈N*都成立；(3)数列{a2n－1}为递增数列．证明：已知条件可化为(an＋1＋an)(an＋2)＋1＝0，即an＋1＝－an－.(1)①当n＝1时已成立；②假设当n＝k时结论成立，即－1＜ak＜0，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝－(ak＋2)－＋2. 1＜ak＋2＜2，又y＝t＋在t∈(1,2)内为增函数，∴ak＋2＋∈(2，)，2∴ak＋1∈(－，0)，则－1＜ak＋1＜0，∴当n＝k＋1时结论成立．由①②知，对一切n∈N*均有－1＜an＜0.(2)①当n＝1时，a2＝－＞a1＝－成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N)时结论成立，即a2k＞a2k－1，∴1＜a2k－1＋2＜a2k＋2＜2，∴a2k－1＋2＋＜a2k＋2＋，∴－a2k－1－＞－a2k－，即a2k＞a2k＋1.同上法可得a2k＋2＞a2k＋1，∴当n＝k＋1时结论成立．由①②知对一切n∈N*均有a2n＞a2n－1成立．(3)an＋1＋an＝－，则an＋2＋an＋1＝－.两式相减得an＋2－an＝－＝.若把上式中的n换成2n－1，则a2n＋1－a2n－1＝＞0，∴数列{a2n－1}为递增数列．题组三证明几何问题7.如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，…，其边数构成等差数列，则第(n)图的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.答案：5n＋18．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n－2个图形中共有________个顶点．解析：观察规律：第一个图形的顶点个数为32＋3＝(1＋2)2＋(1＋2)；第二个图形的顶点个数为(2＋2)2＋(2＋2)＝42＋4；第三个图形的顶点个数为(3...
