100第六章第二节算术平均数与几何平均数题组一利用均值不等式求最值1.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为()A．4B．4C．9D．16解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y. x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D2．(2009·天津高考)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D.解析： 是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．答案：B3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，当且仅当a·＝等号成立，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C4．若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.答案：f(x)＝(2－2)x＋1＋1题组二利用均值不等式证明不等式15.(2010·佛山模拟)已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：法一：由≥得ab≤()2＝1，又a2＋b2≥2ab⇒2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒a2＋b2≥2.法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.答案：C6．设a、b是正实数，以下不等式①>②a>|a－b|－b③a2＋b2>4ab－3b2④ab＋>2恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解析： a、b是正实数，∴①a＋b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋≥2＝2>2恒成立．答案：D7．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.答案：8．已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)·(－1)≥8.证明： a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，∴(－1)(－1)(－1)＝＝≥＝8.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．题组三均值不等式的实际应用9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d千米处，由已知y1＝2＝，得k1＝20，∴y1＝，y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d，∴y1＋y2＝＋≥2＝8，2当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．答案：510．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方x米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296(x＋)＋12960≥1296×2＋12960＝38880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16.设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在[10，16]上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(10＋)＋12960＝38882(元)．∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．(理)为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投...
