第六章第二节一元二次不等式及解法题组一一元二次不等式的解法1.不等式≥2的解集是()A．[－3，]B．[－，3]C．[，1)∪(1,3]D．[－，1)∪(1,3]解析：法一：首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)(x－3)≤0，解得－≤x≤3，故原不等式的解集是[－，1)∪(1,3]．法二：特殊值检验法．首先x≠1，排除B，显然x＝0，x＝2是不等式的解，排除A、C.答案：D2．解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．解：由12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0⇔(x＋)(x－)>0，①a>0时，－<，解集为{x|x<－或x>}；②a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a<0时，－>，解集为{x|x<或x>－}．题组二一元二次不等式的实际应用3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台解析：依题意得25x≥3000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200，因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．1(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0＜x＜.∴投入成本增加的比例应在(0，)范围内．题组三不等式的恒成立问题5.若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是()A．a≥2或a≤－3B．a＞2或a≤－3C．a＞2D．－2＜a＜2解析：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，即解得a＞2.答案：C6．若不等式a＜2x－x2对于任意的x∈[－2,3]恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：由已知不等式a＜－x2＋2x对任意x∈[－2,3]恒成立，令f(x)＝－x2＋2x，x∈[－2,3]，可得当x＝－2时，f(x)min＝f(－2)＝－(－2－1)2＋1＝－8，∴实数a的取值范围a∈(－∞，－8)．答案：(－∞，－8)7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝(x＋)2＋3－.①当－＜－2，即a＞4时，f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，由－2a＋7≥a得a≤，∴a∈∅；②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2；③当－＞2，即a＜－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a＜－4.综上得a∈[－7,2]．题组四一元二次不等式的综合应用8.不等式x2－|x|－2<0的解集是()A．{x|－22}2C．{x|－11}解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2<0⇔(|x|－2)(|x|＋1)<0⇔|x|－2<0⇔－24的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得解得所以a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|22时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2
