第八章第四节圆的方程题组一圆的方程的求法1.(2009·重庆高考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：A2．(2009·辽宁高考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：由圆心在直线x＋y＝0上．不妨设为C(a，－a)．∴r＝＝，解得a＝1，r＝.∴C：(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：B3．若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实数a的值为________．解析：依题意知直线x－y＋1＝0经过圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0的圆心(－，－a)，所以－＋a＋1＝0，解得a＝3或a＝－1，当a＝－1时，方程x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0不能表示圆，所以只能取a＝3.答案：3题组二与圆有关的最值问题4.若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m≥0的右上方．∴∴m的取值范围是m≥－1＋.答案：m≥－1＋5．若实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为________．解析：＝，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设＝k，则kx－y＝0.由＝，得k＝±，结合图形可得()max＝，()min＝－.答案：题组三与圆有关的轨迹问题16.(2009·上海高考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则＋＝4，连线中点坐标为(x，y)，则⇒，代入＋＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：A7．从原点O引圆(x－m)2＋(y－3)2＝m2＋4的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4(x≠0)B．(x－3)2＋y2＝4(x≠0)C．(x－1)2＋(y－3)2＝5(x≠0)D．x2＋y2＝5(x≠0)解析：圆心为C(m,3)，设点P(x，y)(x≠0)，则|OP|2＋|PC|2＝|OC|2，∴x2＋y2＋m2＋4＝m2＋32，故所求方程为x2＋y2＝5(x≠0)．答案：D题组四圆的方程的综合问题8.以双曲线y2－＝1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝4B．x2＋(y－2)2＝2C．(x－2)2＋y2＝2D．x2＋(y－2)2＝4解析：双曲线的右焦点的坐标为(0,2)，离心率e＝2.∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝4.答案：D9．(2010·南通调研)已知A(x1，y1)、B(x2，y2)是圆x2＋y2＝2上两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则x1x2＋y1y2＝________.解析：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，〈，〉＝120°，则x1x2＋y1y2＝·＝||·|OB―→|cos120°＝2×(－)＝－1.答案：－110．已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，2由于圆心C(t，)，∴D＝－2t，E＝－，令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，令x＝0得y＝0或y＝－E＝，∴B(0，)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·||＝4(定值)．(2)∵OM＝ON，∴O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，∴kOC＝，∴＝，解得t＝2或t＝－2，而当t＝－2时，直线与圆C不相交，∴t＝2，∴D＝－4，E＝－2，∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.11．(2010·青岛二检)已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得：，解得：a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)由题知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|.又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2.3
