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第五章 第五节 正弦定理、余弦定理VIP免费

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第五章第五节正弦定理、余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=c=+,且∠A=75°,则b=()A.2B.4+2C.4-2D.-解析:如图所示.在△ABC中,由正弦定理得===4,∴b=2.答案:A2.(2009·湖南高考)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________.解析:由正弦定理得=.即=.∴=2. △ABC是锐角三角形,∴0<A<,0<2A<,0<π-3A<,解得<A<.由AC=2cosA得AC的取值范围为(,).答案:2;(,)3.(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b.解:由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA.又a2-c2=2b,b≠0,所以b=2ccosA+2.①又sinAcosC=3cosAsinC,sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,sin(A+C)=4cosAsinC,sinB=4sinCcosA.由正弦定理得sinB=sinC,故b=4ccosA.②由①、②解得b=4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.在△ABC中,sin2=(a、b、c分别为角A、B、C的对应边),则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形解析:sin2==,∴cosA==⇒a2+b2=c2,符合勾股定理.1答案:B5.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析:法一:因为在△ABC中,A+B+C=π,即C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B).由2sinAcosB=sinC,得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.又因为-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B.所以△ABC是等腰三角形.法二:利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB=sinC可化为2a·=c,即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0,即a2=b2,故a=b.所以△ABC是等腰三角形.答案:B题组三三角形面积公式的应用6.在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则△ABC的面积等于()A.B.C.或D.或解析:由正弦定理知=,∴sinC==,∴C=或,A=或,∴S=或.答案:D7.在△ABC中,面积S=a2-(b-c)2,则cosA=()A.B.C.D.解析:S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA=bcsinA,∴sinA=4(1-cosA),16(1-cosA)2+cos2A=1,∴cosA=.答案:B8.(文)(2009·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,AB�·AC�=3.(1)求△ABC的面积;(2)若c=1,求a的值.解:(1)因为cos=,所以cosA=2cos2-1=,sinA=.又由AB�·AC�=3,得bccosA=3,所以bc=5.因此S△ABC=bcsinA=2.2(2)由(1)知,bc=5,又c=1,所以b=5,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=20,所以a=2.(理)(2010·南通模拟)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=,sin(B-A)=cosC.(1)求A,C;(2)若S△ABC=3+,求a,c.解:(1)因为tanC=,即=,所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C,或C-A=π-(B-C)(不成立).即2C=A+B,得C=,所以,B+A=又因为sin(B-A)=cosC=,则B-A=,或B-A=(舍去)得A=,B=(2)S△ABC=acsinB=ac=3+,又=,即=,得a=2,c=2.题组四正、余弦定理的综合应用9.若△ABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:依题意及面积公式S=bcsinA,得10=bcsin60°,得bc=40.又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20-a,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,故a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C10.(文)在三角形ABC中,已知∠B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为()A.60°B.75°C.90°D.115°解析:不妨设a为最大边.由题意,==,即=,∴=,(3-)sinA=(3+)cosA,∴tanA=2+,∴A=75°.答案:B(理)锐角△ABC中,若A=2B,则的取值范围是()3A.(1,2)B.(1,)C.(,2)D.(,)解析: △ABC为锐角三角形,且A=2B,∴∴<B<,∴sinA=sin2B=2sinBcosB,==2cosB∈(,).答案:D11.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m...

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