第五章第五节正弦定理、余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝()A．2B．4＋2C．4－2D.－解析：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝4，∴b＝2.答案：A2．(2009·湖南高考)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得＝.即＝.∴＝2. △ABC是锐角三角形，∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，解得＜A＜.由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)．答案：2；(，)3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.②由①、②解得b＝4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解析：sin2＝＝，∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．1答案：B5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形．法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB＝sinC可化为2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．答案：B题组三三角形面积公式的应用6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于()A.B.C.或D.或解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝，∴C＝或，A＝或，∴S＝或.答案：D7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝()A.B.C.D.解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA)，16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝.答案：B8．(文)(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，AB�·AC�＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．解：(1)因为cos＝，所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.又由AB�·AC�＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝bcsinA＝2.2(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2.(理)(2010·南通模拟)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.解：(1)因为tanC＝，即＝，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)．即2C＝A＋B，得C＝，所以，B＋A＝又因为sin(B－A)＝cosC＝，则B－A＝，或B－A＝(舍去)得A＝，B＝(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，又＝，即＝，得a＝2，c＝2.题组四正、余弦定理的综合应用9.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是()A．5B．6C．7D．8解析：依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.答案：C10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为()A．60°B．75°C．90°D．115°解析：不妨设a为最大边．由题意，＝＝，即＝，∴＝，(3－)sinA＝(3＋)cosA，∴tanA＝2＋，∴A＝75°.答案：B(理)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是()3A．(1,2)B．(1，)C．(，2)D．(，)解析： △ABC为锐角三角形，且A＝2B，∴∴＜B＜，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，＝＝2cosB∈(，)．答案：D11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m...
