第五章第三节等比数列及其前n项和题组一等比数列的基本运算1.各项都是正数的等比数列中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A.B.C.D.或解析：设{an}的公比为q， a1＋a2＝a3，∴a1＋a1q＝a1q2，即q2－q－1＝0，∴q＝，又 an＞0，∴q＞0，∴q＝，＝＝.答案：A2．(2009·浙江高考)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.解析：a4＝a1()3＝a1，S4＝＝a1，∴＝15.答案：153．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.解析： an＋2＋an＋1＝6an，∴an·q2＋an·q＝6an(an≠0)，∴q2＋q－6＝0，∴q＝－3或q＝2. q＞0，∴q＝2，∴a1＝，a3＝2，a4＝4，∴S4＝＋1＋2＋4＝.答案：题组二等比数列的性质4.(2009·广东高考)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝()A.B.C.D．2解析： a3·a9＝2a＝a，∴＝.又a2＝1＝a1·，∴a1＝.答案：B5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3解析： {an}为等比数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，又 S6∶S3＝1∶2，∴S＝S3(S9－S3)，即S3＝S9，∴S9∶S3＝3∶4.答案：C6．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项1在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析： bn＝an＋1，∴an＝bn－1，而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． {an}是公比为q的等比数列，|q|>1.∴{an}中的连续四项为－24,36，－54,81，∴q＝－＝－，∴6q＝－9.答案：－9题组三等比数列的判断与证明7.若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列{an}是等比数列则＝q，可得＝q2，则{an}为“等方比数列”．当{an}为“等方比数列”时，则＝p(p为正常数，n∈N*)，当n≥1时＝±，所以此数列{an}并不一定是等比数列．答案：B8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．解：(1) a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2) a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题组四等比数列的综合应用9.(文)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)解析： q3＝＝，∴q＝，a1＝4，数列{an·an＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C.2答案：C(理)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于()A．8B．9C．8或9D．17解析： a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25，又an＞0，∴a3＋a5＝5，又q∈(0,1)，∴a3＞a5，而a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16，an＝16×()n－1＝25－n，bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝，∴＝，∴当n≤8时，＞0；当n＝9时，＝0；当n＞9时，＜0，∴当n＝8或9时，＋＋…＋最大．答案：C10．(文)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋...
