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第九章 第三节 二项式定理VIP免费

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第九章第三节二项式定理题组一求展开式中的指定项和特定项1.(2009·重庆高考)(x2+)8的展开式中x4的系数是()A.16B.70C.560D.1120解析:由二项展开式通项公式得Tr+1=C(x2)8-r()r=2rCx16-3r.由16-3r=4,r=4,则x4的系数为24C=1120.答案:D2.(x-31x)12的展开式中的常数项为()A.-1320B.1320C.-220D.220解析:展开式的通项是Tr+1=Cx12-r(-31x)r=C(-1)rx12-,令12-=0,得r=9,故展开式的常数项是T10=C(-1)9=-220.答案:C3.(2009·湖南高考)在(1+x)3+(1+)3+(1+3x)3的展开式中,x的系数为________(用数字作答).解析:C+C+C=23-1=7.答案:74.若6的二项展开式中x3的系数为,则a=__________(用数字作答).解析:通项Tr+1=C·a-rx12-3r,当12-3r=3时,r=3,所以系数为C·a-3=,得a=2.答案:2题组二求展开式中各项系数的和5.在+n的展开式中,所有奇数项的系数之和为1024,则中间项系数是()A.330B.462C.682D.792解析:∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n,而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.由题意得,2n-1=1024,∴n=11,∴展开式共有12项,中间项为第六项、第七项,系数为C=C=462.答案:B16.(2009·陕西高考)若(1-2x)2009=a0+a1x+…+a2009x2009(x∈R),则++…+的值为()A.2B.0C.-1D.-2解析:令x=0,则a0=1,令x=,则a0+++…+=0,∴++…+=-1.答案:C7.(2009·江西高考)(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5解析:不含x的项的系数的绝对值为(1+|b|)n=243=35,不含y的项的系数的绝对值为(1+|a|)n=32=25,∴n=5,答案:D8.若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=________.(用数字作答)解析:由题设令x=0得a0=(-2)5=-32,令x=1得a5+a4+a3+a2+a1+a0=(1-2)5=-1,故a1+a2+a3+a4+a5=-1-(-32)=31.答案:31题组三求展开式中系数最大项问题9.在312nxxn的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为()A.-7B.7C.-28D.28解析:依题意,+1=5,∴n=8.二项式为8312xx,易得常数项为C231x6=7.答案:B10.(+33x)n的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则(1-x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________.解析:展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,由已知得2n=64,所以n=6,(1-x)6的展开式中,第四项的系数最小,为-C=-20.答案:-2011.二项式(1+sinx)n的展开式中,末尾两项的二项式系数之和为7,且二项式系数最大的一项的值为,则x在(0,2π)内的值为________.2解析:由已知可得C+C=n+1=7,即得n=6,二项式系数最大的一项为C·sin3x=20sin3x=,解得sinx=,又x∈(0,2π),∴x=或.答案:或题组四二项式定理的综合应用12.若(x-)n的展开式中含有非零常数项,则这样的正整数n的最小值是()A.3B.4C.10D.12解析:Tr+1=C(x)n-r(-312x)r=C()n-r(-1)r(312)r·xn-r·x-=C()n-r(-312)rxn-,令n-r=0,得n=r.∴n取最小值为4.答案:B13.令an为(1+x)n+1的展开式中含xn-1项的系数,则数列{}的前n项和为()A.B.C.D.解析:∵Tr+1=C·xr,∴an=C=C=,=,∴=2=2=.答案:D14.已知(xcosθ+1)5的展开式中x2的系数与(x+)4的展开式中x3的系数相等,则cosθ=__________.解析:(xcosθ+1)5=(1+xcosθ)5,展开式中x2的系数为Ccos2θ.(x+)4=(+x)4,展开式中x3的系数为C,由题意可知Ccos2θ=C,∴cos2θ=,∴cosθ=±.答案:±15.关于二项式(x-1)2005,有下列命题:①该二项展开式中非常数项的系数之和是1;②该二项展开式中第六项为Cx1999;③该二项展开式中系数最大的项是第1002项;④当x=2006时,(x-1)2005除以2006的余数是2005.3其中正确命题的序号是________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)解析:二项式(x-1)2005所有项的系数和为0,其常数项为-1,非常数项的系数和是1,即得①正确;二项展开式的第六项为-Cx2000,即得②错误;二项展开式中系数绝对值最大的项为C2005x1003=Cx1003,-C2005x1002=-Cx1002,得系数最大的项是第1003项C·x1003,即③错误;当x=2006时,(x-1)2005除以2006的余数是2006-1=2005,即④正确.答案:①④4

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