第三章 第四节 数列求和VIP免费

第三章第四节数列求和题组一分组转化求和1.数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10之值为()A.31B.120C.130D.185解析：a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－＝240－110＝130.答案：C2.数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋23＋…＋2n－1，…的前n项和为()A.2n－1B.n·2n－nC.2n＋1－nD.2n＋1－n－2解析：由题意：an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝1212n＝2n－1∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝12212n－n＝2n＋1－n－2.答案：D3.已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n>1，且n∈N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝.解析： an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)∴{an－1}为等比数列，则an＝2n－1＋1，∴a1＋a2＋…＋a10＝10＋(20＋21＋…＋29)＝10＋＝1033.答案：1033题组二裂项相消求和4.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1()fn}(nN∈*)的前n项和是()A.B.C.D.解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，1∴f(x)＝x(x＋1)，＝＝－，用裂项法求和得Sn＝.答案：A5.数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A.－10B.－9C.10D.9解析：数列的前n项和为＋＋…＋＝1－＝＝，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0，所以在y轴上的截距为－9.答案：B6.(2010·青岛模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋c(c为常数，n∈N*)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列.(1)求c的值；(2)设bn＝11nnaa，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1) an＋1＝an＋c，a＝1，c为常数，∴an＝1＋(n－1)c.∴a2＝1＋c，a5＝1＋4c.又a1，a2，a5成等比数列，∴(1＋c)2＝1＋4c，解得c＝0或c＝2.当c＝0时，an＋1＝an不合题意，舍去，∴c＝2.(2)由(1)知，an＝2n－1.∴bn＝11nnaa＝1(21)(21)nn＝(121n－121n)∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(121n－121n)]＝(1－121n)＝21nn.题组三错位相减法求和7.求和：Sn＝1a＋21a＋31a＋…＋nna.2解：当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝(1)2nn；当a≠1时，Sn＝1a＋22a＋33a＋…＋nna，1aSn＝21a＋31a＋41a＋…＋1nna＋1nna，两式相减得，(1－1a)Sn＝1a＋21a＋31a＋…＋1na－1nna＝111()11naaa－1nna，即Sn＝2(1)(1),(1)nnaanaaa∴Sn＝2(1),1,2(1)(1),1.(1)nnnnaaanaaaa8.设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝3n，nN∈*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1) a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝3n，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝13n.②①－②得3n－1an＝，an＝13n.在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝13n，∴an＝13n.(2) bn＝，∴bn＝n3n.∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3n，③∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n3n＋1.④④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n3n＋1－3(13)13n，3∴Sn＝1(21)34nn＋.题组四数列求和的综合应用9.设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()A.n(2n＋3)B.n(n＋4)C.2n(2n＋3)D.2n(n＋4)解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(0)＝b＝1，f(1)＝k＋1，f(4)＝4k＋1，f(13)＝13k＋1.(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，∴k＝2.f(x)＝2x＋1，∴f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝2×(2＋4＋…＋2n)＋n＝n(2n＋3).答案：A10.已知数列{an}的通项公式为an＝log211aa(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n()A.有最大值63B.有最小值63C.有最大值32D.有最小值32解析：法一：依题意有an＝log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，所以Sn＝log22－log23＋log23－log24＋…＋log2(n＋1)－log2(n＋2)＝log22－log2(n＋2)＝1－log2(n＋2)，令1－log2(n＋2)<－5，解得n>62，故使Sn<－5成立的自然数n有最小值63.法二：Sn＝log2＋log2＋…＋log2＝log2(××…×)＝log2，所以由Sn<－5，得log2<－5，解得n>62，故使Sn<－5成立的自然数n有最小值63.答案：B11.对于数列{an}，...