第三章第六节二倍角的三角函数题组一三角函数求值1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝()A.B．－C.D．－解析：∵sinα＝，＜α＜π，∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋)＝cosα＝－.答案：D2．已知α∈(0，π)，sinα＋cosα＝，则tanα等于()A.B．－C.或D．－解析：∵sin＋cosx＝，∴1＋2sinα·cosα＝，∴sinα·cosα＝，∴＝，∴＝，∴tanα＝或tanα＝.又∵sinα·cosα>0，sinα＋cosα>0，∴α∈(0，)，∴tanα＝或tanα＝.答案：D3．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为__________．解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA＝(cosA－sinA)＝，∴cosA－sinA＝＞0.①∴0＜A＜，∴0＜2A＜①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.∴cos2A＝＝.答案：4．(2010·长郡模拟)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．解：(1)∵a与b互相垂直，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得sinθ＝±，cosθ＝±，又θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，又∵sin(θ－φ)，∴0<θ－φ<.则cos(θ－φ)＝＝，∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝.1题组二三角函数式的化简与证明5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是()A．(－，)B．(0，)C．(，)D．(，π)解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π)．答案：D6．化简等于()A．1B．－1C．cosαD．－sinα解析：原式＝＝＝＝1.答案：A7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是()A．2B．4C．8D．16解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝，∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4.答案：B8．求证：tan2x＋＝.证明：左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．∴tan2x＋＝.题组三三角恒等变形的综合应用9.若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是()A．(，)B．(，π)C．(，)D．(，)解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0，即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－≤.综上，0＜α－＜π，即＜α＜.答案：C10．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．解析：法一：设x＝cosαsinβ，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.2∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴∴∴－≤x≤.法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.答案：[－，]11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图像如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1.函数f(x)的周期为T＝4×(＋)＝π.而T＝，则ω＝2.又x＝－时，y＝0，∴sin[2×(－)＋φ]＝0.而－＜φ＜，则φ＝，∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋)．(2)由f(α)＋f(α－)＝，得sin(2α＋)＋sin(2α－)＝，即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝.∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝.3
