第三章第八节正弦定理、余弦定理应用举例题组一距离问题1.一船自西向东航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船航行的速度为()A.海里/时B.34海里/时C.海里/时D.34海里/时解析:如图.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.在△PMN中,由正弦定理,得sin120sin450MNPM,∴MN=68×23346.22又由M到N所用时间为14-10=4小时,∴船的航行速度v==(海里/时).答案:A2.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为________km.解析:如图,依题意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得=,解得BM=30km.答案:3023.如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这一岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB的长.1解:在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以AC=a.①在△BCD中,由正弦定理可得BC==a.②在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为∠ACB=30°,所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB==a.题组二高度问题4.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是()A.米B.10米C.米D.20米解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,20sin45sin60AO,∴AO=2033(米).答案:A5.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ,由此点向塔底沿直线行走了30m,测得塔顶的仰角为2θ,再向塔底前进10m,又测得塔顶的仰角为4θ,则塔的高度为____________.解析:如图,依题意有PB=BA=30,PC=BC=310.在三角形BPC中,由余弦定理可得cos2θ=22210330103210330()+-()=32,所以2θ=30°,4θ=60°,在三角形PCD中,可得PD=PC·sin4θ=102·32=15(m).答案:15m6.某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角为30°,同时测得B在南偏东78°,俯角是45°,求山高(设A、B与山底在同一平面上,计算结果精确到0.1m).解:画出示意图(如图所示)2设山高PQ=h,则△APQ、△BPQ均为直角三角形,在图(1)中,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°.∴AQ=3tan30PQh,BQ=tan45PQ=h.在图(2)中,∠AQB=57°+78°=135°,AB=2500,所以由余弦定理得:AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB,即25002=(3h)2+h2-23h·h·cos135°=(4+6)h2,∴h=250046≈984.4(m).答:山高约984.4m.题组三角度问题7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30°,那么角C等于()A.120°B.105°C.90°D.75°解析: c=a,∴sinC=sinA=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=(sinC+cosC),即sinC=-cosC.∴tanC=-.又C∈(0,180°),∴C=120°.答案:A8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定解析:设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.答案:A题组四正、余弦定理的综合应用9.有一山坡,坡角为30°,若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后,升高了100米,则此人行走的路程为()A.300mB.400m3C.200mD.200m解析:如图,AD为山坡底线,AB为行走路线,BC垂直水平面.则BC=100,∠BDC=30°,∠BAD=30°,∴BD=200,AB=2BD=400米.答案:B10.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km...