第三章第二节任意三角的三角函数的定义与诱导公式题组一三角函数的定义1.角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则cosα＝()A.B．－C.或－D．1解析：∵r＝＝|a|，当a＞0时，cosα＝＝；当a＜0时，cosα＝＝－.答案：C2．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)解析：根据题意得Q(cosπ，sinπ)，即Q(－，)．答案：A3．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值等于()A．0B．2C．－2D．2tanα解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，α＝kπ＋，k∈Z，sinα，cosα的符号相反．当α＝2kπ＋，即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；当α＝2kπ＋，即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以有＋＝＋＝0.答案：A题组二化简问题4.(tanx＋)cos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD.解析：(tanx＋)cos2x＝(＋)cos2x＝·cos2x＝＝.答案：D5．sin(π＋)sin(2π＋)sin(3π＋)…sin(2010π＋)的值等于________．解析：原式＝(－)(－)…＝－.答案：－16．如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，化简：cos·＋cos·.解：由sinα·tanα＞0，得＞0，cosα＞0.又sinα·cosα＞0，∴sinα＞0，∴2kπ＜α＜2kπ＋(k∈Z)，即kπ＜＜kπ＋(k∈Z)．当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限．∴原式＝cos·＋cos·＝cos·＋cos·＝＝.题组三条件求值问题7.已知sin(α－)＝，则cos(＋α)＝()A.B．－C.D．－解析：∵cos(＋α)＝sin[－(＋α)]＝sin(－α)＝－sin(α－)＝－.答案：D8．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA的值为()A．m＋B．m－nC.(m＋)D.(m－n)解析：两式相减得lg(l＋cosA)－lg＝m－n⇒lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lgsin2A＝m－n，∵A为锐角，∴sinA＞0，∴2lgsinA＝m－n，∴lgsinA＝.答案：D9．已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值；(3)若α＝－π，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵cos(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－，又∵α为第三象限角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝.(3)∵－π＝－6×2π＋π∴f(－π)＝－cos(－π)＝－cos(－6×2π＋π)＝－cosπ＝－cos＝－.题组四公式的灵活应用210.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，若f(2009)＝－1，则f(2010)等于()A．－1B．0C．1D．2解析：法一：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－1，∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.法二：f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asin[π＋(2009π＋α)]＋bcos[π＋(2009π＋β)]＝－asin(2009π＋α)－bcos(2009π＋β)＝－f(2009)＝1.答案：C11．若f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为________．解析：∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.答案：－112.(2010·余姚模拟)如图，A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α.(1)若A点的坐标为(，)．求的值；(2)求|BC|2的取值范围．解：(1)∵A点的坐标为(，)，∴tanα＝，∴＝＝＝＝＝20.(2)设A点的坐标为(x，y)，∵△AOB为正三角形，∴B点的坐标为(cos(α＋)，sin(α＋))，且C(1,0)，∴|BC|2＝[cos(α＋)－1]2＋sin2(α＋)＝2－2cos(α＋)．而A、B分别在第一、二象限，∴α∈(，)．∴α＋∈(，)，∴cos(α＋)∈(－，0)．∴|BC|2的取值范围是(2,2＋)．3
