第七章 第四节 垂直关系VIP免费

第七章第四节垂直关系题组一线面垂直的判定与性质1.(2010·宣武模拟)若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()A．a∥β，α⊥βB．aÜβ，α⊥βC．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β解析：只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.答案：D2．(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，ACÜ平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．答案：A3．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④题组二平面与平面垂直的判定与性质4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PCÜ平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)5．在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，1SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．(1)求证：平面SEF⊥平面ABCD；(2)若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.解：(1)证明：由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB.由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC.又AB∥DC，∴AB⊥SF.又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF.又 ABÜ平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD.(2) AB∥CD，CDÜ面SCD，∴AB∥平面SCD.又 平面SAB∩平面SCD＝l，根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l.题组三(文)平面与平面垂直的应用6．如图，α⊥β，α∩β＝AB，CDβ，CD⊥AB，CE，EFÜα，∠FEC＝90°，求证：平面EFD⊥平面DCE.证明： α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又 EFÜα，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥平面DCE.又EFÜ平面EFD，∴平面EFD⊥平面DCE.7．如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点．(1)试判断四边形的形状，并说明判断理由；(2)设P点是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请说明理由．解：(1)四边形EFGH是一个矩形，下面给出证明： AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH＝HG，ADÜ面ACD，∴AD∥HG，同理EF∥AD，∴HG∥EF，同理有EH∥FG，∴四边形EFGH是一个平行四边形．又三棱锥A—BCD是一个正三棱锥，∴A点在底面BCD上的射影O点必是△BCD的中心，OD⊥BC，AD⊥BC.∴HG⊥EH，即四边形EFGH是一个矩形．2(2)作CP⊥AD于P，连结BP， AD⊥BC，BC∩CP=C，∴AD⊥面BCP， HG∥AD，∴HG⊥面BCP，又HGÜ面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH.在Rt△APC中，∠CAP=∠BAC=30°，AC=a，∴AP=3.2a题组三(理)二面角6.设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA＝2，PB＝4，则AB的长是________．解析：如图所示，PA与PB确定平面γ，与l交于点E，则BE⊥l，AE⊥l，∴∠BEA即为二面角的平面角，∴∠BEA=60°，从而∠BPA=120°，∴AB=222cosPAPBAPPBBAP116827.答案：277．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为4．解：(1) AE⊥平面AA1D1D，∴AE⊥A1D，又 AA1D1D为正方形，∴A1D⊥AD1，∴A1D⊥面AD1E，∴A1D⊥D1E.(2)过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，3∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角．设AE=x，则BE=2-x，在Rt△D1DH中， ∠DHD1=4)，∴DH=1. 在Rt△ADE中，DE=12x，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=3，在Rt△CBE中，CE=245xx．∴x+3=245xx⇒x=2-3．∴AE=2-3时，二面角D1-EC-D的大小为4．题组四直线、平面垂直的综合问题8.(2010·岳阳模拟)设a、b、c表示三条直...