第15讲导数的综合应用（4）—不等式的证明5.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式或比较大小.证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值等于零；而证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最大（笑）值问题.【例1】（2008山东文）设函数，已知和为的极值点．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）讨论的单调性；（Ⅲ）设，试比较与的大小．【解】（Ⅰ）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，．经检验,,时,有极值.（Ⅱ）因为，，所以，令，解得，，．以下将，，的变化情况列表如下：减极小值增极大值减极小值增因为当时，；用心爱心专心当时，．所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，令，则．令，得，因为时，，所以在上单调递减．故时，；因为时，，所以在上单调递增．故时，．所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有．【例2】(2007安徽卷,理)设，．（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有．【分析及解】（Ⅰ）根据求导法则有，故，用心爱心专心于是，列表如下：20减极小值增故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．本题是证明,而不是证明,因此并不要求函数的最小值等于零,而只要求大于零即可.【例3】（2006湖南卷，理）已知函数,数列{}满足:证明:（I）;（II）.【分析及解】（I）先用数学归纳法证明，(i).当时,由已知显然结论成立.(ii).假设当时结论成立,即.因为时,所以在上是增函数.又在上连续,用心爱心专心从而.故时,结论成立.由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.又因为时，，所以，综上所述．（II）设函数，．由（I）知，当时，，从而所以在上是增函数.又在上连续,且,所以当时，成立.于是．故．【例4】(2007辽宁卷,理)已知函数，．（Ⅰ）证明：当时，在上是增函数；（Ⅱ）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；（Ⅲ）证明：．【分析及解】（Ⅰ），，，因为，则，所以，，（或由得，所以对，）用心爱心专心所以，当时，在上是增函数.（Ⅱ）本题等价于存在实数，当时，在闭区间上；由,令,由于是闭区间上的连续函数,所以,一定有最大值,设该最大值为,则必有,于是,当时,有,即在闭区间上是减函数；（Ⅲ）证法1.把看作的函数,设,则.设则小于大于减最小值,增所以,的最小值为,从而于是,,即.证法2.设,等价于对所有恒成立,又等价于,即,以下证法同证法1.证法3.设,用心爱心专心对求导得,令,解得.当时,,当时,,所以,时,最小,,以下证法同证法1.证法4..设点,则点在直线上,点的距离的最小值是点到直线的距离.,又,所以,,以下证法同证法1.【例5】(2007山东卷,理)设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．【分析及解】（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，用心爱心专心．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，，随的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有唯一极小值点，用心爱心专心当时，，，此时，，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）设，则不等式化为，即.设函数，则．所以,当时，，所以函数在上单调递增，又．于是,时，恒有，即恒成立．用心爱心专心故当时，有．因此不等式成立．【例6】已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，证明：．【分析及解】（Ⅰ）函数的定义域为．＝＝由及，得．∴当时，是减函数，即的单调递减区间为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，当时，＜0，所以,是的最大值.因此，当时，，即,所以．构造函数则＝．∴当时，＜0，当时，＞0...
