第28讲导数的综合应用（2）VIP免费

第28讲导数的综合应用（2）2.函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;【例1】已知函数在处有极值为,则的值为().A.或B.或C.D.【解】,由题意有解得和但是,当时,,此时,为上的增函数,没有极值,故只有解于是,,因此,选D.【例2】（2008天津文21）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【解】（Ⅰ）．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：02用心爱心专心－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ），显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．解此不等式，得．这时，是唯一极值．∴满足条件的的取值范围是．（Ⅲ）解法1：由条件，可知，从而恒成立．当时，；当时，．∴在处存在极小值，从而函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即在上恒成立．易得，∴，因此满足条件的的取值范围是．解法2：记，是关于的一次函数，因当时，不等式恒成立，所以即也就是在时恒成立，只考虑用心爱心专心.令，，因为对于恒成立.所以，当时，；当时，．故在上单调递减，上单调递增，∴在时取得最小值，∴，所以.满足条件的的取值范围是．【例3】（2008浙江卷,理）已知是实数，函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值．（ⅰ）写出的表达式；（ⅱ）求的取值范围，使得．【解】（Ⅰ）函数的定义域为，．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，；当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（Ⅱ）（ⅰ）若，在上单调递增，所以．如图1，当，即时， 在上单调递减，且在上单调递增，所以．用心爱心专心浙江理21解图1如图2，当即时， 在上单调递减，所以．综上所述，（ⅱ）令．若， 此时，∴不等式无解；若，由，解得，由，故；若，解得．故的取值范围为．【例4】(2007安徽卷,文)设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值．【解】（I）我们有．由于，，故当时，达到其最小值，即．（II）我们有．列表如下：用心爱心专心浙江理21解图2xya3O2极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．【例5】(2006年山东卷,文）设函数(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)讨论的极值.【解】由已知得，令，解得.（Ⅰ）当时，，在上单调递增当时，，随的变化情况如下表：0+00增极大值减极小值增从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值.当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值.【例6】(2006辽宁卷,理）已知函数,其中是以为公差用心爱心专心的等差数列，，且,设0x为()fx的极小值点,在上，处取得最大值，在2x处取得最小值，将点依次为(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若有一边平行于轴，且面积为，求的值【解】(Ⅰ)令,得，当时,;当时,所以()fx在处取得极小值即.(Ⅱ)的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为，即又由当时,取得最小值为,用心爱心专心由有一条边平行于轴知AC平行于轴,所以①又由三角形ABC的面积为得利用,,得,②联立①,②可得.【例7】(2007全国Ⅱ卷,文)已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）若,求z的取值范围。【解】（Ⅰ）求函数的导数．由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以当时，为增函数，，由，得．（Ⅱ）在题设下，等价于即．化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．所围成的的内部，其三个顶点分别为：．用心爱心专心ba2124O4677A，(42)C，(22)B，在这三点的值依次为．所以的取值范围为．【例8】(2005全国卷II，理)已知函数（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设在上是单调函数，求a的取值范围.【解】（I）对函数求导数，得令，得，从而，解得，，其中当变化时，的变化情况如下表：＋0－0＋增极大值减极小值增当在处取到极大值，在处取到极小值.下面证...