第27讲导数的综合应用（1）导数是现代数学的一个基本工具，导数是研究、刻画函数的有力武器．中学阶段，在研究函数的变化率，函数的单调性．函数的极值等方面起着极其重要的作用，理解导数的意义，掌握求导公式和求导法则是解题的基础．导数给函数问题注入了生机和活力,开辟了许多解题新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，数列,不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维,解决单调性，极值，最值，切线，方程的根,参数的范围等问题，同时,加强了对分类讨论、变量代换、数形结合、函数与方程、逻辑推理、运算技能等数学思想,数学方法和数学能力的考查力度．这类题综合性强，思辨程度强,内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏.导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1.函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2.函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线有关的问题;4.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式;.5.用导数探讨函数图象的交点,方程的解的个数;6.导数与其他方面的知识的综合.1．函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;【例1】（2008广东理19）设，函数，，，试讨论函数的单调性．【解】对于,分段进行研究.用心爱心专心(1)对于，对分类.当时，，∴函数在上是增函数；当时,,令,得或（舍），∴函数在上是减函数，在上是增函数；(2)对于，对分类.当时，，函数在上是减函数；当时，由解得，函数在上是减函数，在上是增函数．【例2】（2008全国Ⅰ文21理19）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．【解】（Ⅰ），，其判别式．当,即时，，恒成立，∴在上递增，当,即时，令，求得两根为即在上递增，在上递减，用心爱心专心在上递增．（Ⅱ）解法1：函数的图象开口向上，由题意，在恒成立，所以函数．当时图象在轴的下方，观察图象，有解得．解法2：因为在区间内是减函数，所以在恒成立，即在恒成立．令，，由．．,,单增．，，单减．∴在上的最小值必是与中的一个．因为，所以在上恒成立，只需，解得．本题第一问考查分类讨论，这里要铭记：见了二次三项式，要先对“判别式”进行讨论．第二问考查不等式恒成立和不等式的解法，其中解法1着重数形结合及集合观点，从图象出发利用函数值符号得到一个不等式组，形象直观且说理性强．但对界点的处理一定要提高警用心爱心专心惕，避免因丢失（或“冒添”）“等号”而造成失误．解法2采用分离参数的方法更具一般性，弥补了二次函数的局限性．【例3】（2008北京文17）已知函数,且是奇函数．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．【解】（Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对任意的，，即．又，所以．所以解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．(1)当时，由得．变化时，的变化情况如下表：00所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．(2)当时，，所以函数在上单调递增．【例4】（2008辽宁文22）设函数在，处取得极值，且．（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；（Ⅱ）若，求的取值范围．【解】．①用心爱心专心（Ⅰ）当时，；由题意知为方程的两根，所以，，则．由，得．从而，．当时，；当时，．故在单调递减，在,单调递增．（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，所以．从而，由上式及题设知．考虑，．故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．又在上只有一个极值，所以为在上的最...
