第23讲含参数的不等式(3)（3）不等式的能成立,恰成立和部分成立问题【例1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．【解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【例2】设，二次函数若的解集为，，求实数的取值范围.【解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题，这个题目的常规解法是：由题设,.的两个根为显然,.(1)当时,,(2)当时,,.于是,实数的取值范围是.因为,题目的条件是只要集合的交集不是空集就可以,即只要不等式在区用心爱心专心间有解就可以,这等价于成立.解法就简单些.解法如下:(1)当时,因为的图象的对称轴，则对，最大，(2)当时,在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.把函数思想与数形结合思想结合起来，还可获得更简单的解法，即在有解.【例3】已知函数，，.（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）（略）【解】只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是,而在上有解,就等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中.由得,.于是,,由题设,所以a的取值范围是【例4】设是函数的一个极值点.（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（Ⅱ）设，,若存在使得成立，求的取值范围.用心爱心专心【解】（Ⅰ），由，得，则.于是令，得，由于是极值点，所以有,则.当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数。当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时,在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而,那么在区间上的值域是如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（Ⅰ）可得,函数在的值域为,又在的值域为,用心爱心专心存在使得成立，等价于或，容易证明,.于是,.【例5】()Ⅰ已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;()Ⅱ已知当的值域是,试求实数的值.【解】这两问给出的函数的表达式相同,的范围相同,的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.本题的第()Ⅰ问是一个恒成立问题,对任意恒成立等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以.第(Ⅱ问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时,,与其值域是矛盾,当时,是上的增函数,所以,的最小值为,令,即用心爱心专心x(a2+254)e4a2+254a+6-(2a+3)e3g(x)f(x)【例6】已知适合不等式的的最大值为，求实数的值，并解不等式.【解】这是一个不等式恰成立问题.因为的最大值为,所以,已知不等式化为即①由不等式有解可知,,(1)当时,不等式①化为②由题设,②有解为,于是有解得不等式的解为.(2)当时,不等式①化为③由题设,③有解为或,于是有解得与矛盾,此时无解.由(1),(2),.【例7】已知动直线与椭圆交于两点,轴上有一动点.令向量,其中a为一个给定的常数(a＜,且有{b|+与共线}=.求出a的值.【解】设点A的坐标为,点的坐标为,线段AB中点为M(,), =用心爱心专心∴与共线等价于与共线, ,,∴由与共线得,即,由,消去y得,①两根为,.=,,∴－,=.{ 与共线}=,∴或＞0,∴,或,于是，且构造函数，则其定义域满足用心爱心专心即,或且.因而,这相当于含参数的不等式在定义域内恰成立.即在且,或x＞时,最小值为. 图象的对称轴是,于是由图象可知:(1)当<,即时,当时最小,最小值为.∴+1=－3,解得;(2)当＜0,即a－时,,∴此时,无最小值.由(1)(,(2)得常数.【例8】(Ⅰ)若函数的一个单调增区间为1.,求的值;(Ⅱ)若函数在区间为增函数,求的取值范围.【解】（Ⅰ）是指1.恰为函数的一个单调增区间，因此，在区间上恰成立,即恰为方程的一个根，解得.（Ⅱ）是指只要是增区间的一个子区间就可以.即在上恒成立,即在上恒成立.【例9】已知集合,函数的定义域为.(Ⅰ)若,求实数的取值范围.用心爱心专心(Ⅱ)若方程在内有解,求实数的取...
