第13讲导数的综合应用（3）—曲线的切线3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题：曲线在处的切线方程为，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维.【例1】已知函数在上是一个连续函数,函数的图象是曲线,以上一点为切点的切线,对应的一次函数为,记,若切线在点处穿过曲线（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧）,则().①；②；③函数在处一定没有极值；④函数在处可能有极值其中正确的是（）.（A）①,④（B）①,③（C）②,④（D）②,③【分析及解】这是一个切线穿过曲线的问题,主要研究在切线方程与曲线方程的差所形成的函数在的状态.因为，而以为切点的切线的斜率为,也为,即,所以,,因此①正确;因为切线在点处穿过曲线，则当和时，异号，所以，函数在处一定没有极值，因此③正确。故选B.【例2】(2005湖南卷,文)设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线.（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在上单调递减，求取值范围.【分析及解】（I）因为函数，的图象都过点，所以，即.因为所以.用心爱心专心又因为，在点处有相同的切线，所以而将代入上式得因此故，，（II）解法1..当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在上单调递减，则所以又当时，函数在上单调递减.所以的取值范围为解法2.因为函数在上单调递减，且是上的抛物线，所以即解得所以的取值范围为【例3】(2007湖北卷,理)已知定义在正实数集上的函数,,其中．设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同．用心爱心专心（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．【分析及解】（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意,和在公共点处的函数值相同,切线的斜率也相同.，即由得，或（舍去）．即有．把看作的函数.令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为,即（Ⅱ）设，只需证明的最小值等于即可.则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是用心爱心专心．故当时，有，即当时，．【例4】（2008海南、宁夏卷,文）设函数，曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【分析及解】(Ⅰ）方程可化为．当时，．又，于是即解得故．（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为．故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，用心爱心专心此定值为6．【例5】(2007湖南卷,文)已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．【分析及解】（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法1.由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．用心爱心专心若，则和都是的极值点．所以，即，又由，得，故．解法2.同解法1得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，设，由,则在两边附近的函数值同号，因此，是的一个极值点，则，所以，又由，得，故．【例6】已知函数,该函数图象在点处的切线为,设切线交轴,轴分别为两点.（Ⅰ）将为坐标原点)的面积表示为的函数;（Ⅱ）若函数的图象与轴交于点,则与的大小关系如何?请证明你的结论;（Ⅲ）若在处,取得最小值,求此时的值及的最小值.【分析及解】(Ⅰ).切线的方程为,.令得,令,得.所以，.用心爱心专心（Ⅱ）由及得,即.于是.所以，,当且仅当时取等号.（Ⅲ）,由得.当即时,;当即时,,所以时,取得最小值为,由得,此时.【例7】(2005辽宁卷)函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且设是曲线在点（）的切线方程，并设函数（...
