第22讲含参数的不等式(2)3．含参数的不等式的成立问题首先请看这样一个题目：已知函数()Ⅰ若的定义域,试求的取值范围.()Ⅱ若在上有意义,试求的取值范围.()Ⅲ若的解集为,,试求的值.这三问中,()Ⅰ的定义域非空,相当于存在实数,使成立,是能成立问题,()Ⅱ在区间上有意义,等价于在恒成立,是恒成立问题,()Ⅲ的解集为,等价于不等式的解集为;是恰成立问题.在近几年的高考数学试题中，常常出现这类含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.（1）不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序基本上是这样的:①恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.②能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立,,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立,,则等价于函数在区间上的最小值小于.③恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为,若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.（2）不等式的恒成立问题【例1】(2008天津卷,理)设,若仅有一个常数使得对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为.用心爱心专心【解】.由得,则在上是减函数,本题等价于在上恒成立,因此有即,解得.因为常数是唯一的,所以即的取值集合为.【例2】(2008湖北卷,理7)若上是减函数，则的取值范围是A.B.C.D.【解】C.由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．【例3】(2008江苏卷,14)已知函数（），对于，总有成立，则实数a的值为．【解】4.当时,;当时,可化为,设,则,用心爱心专心所以,在上单调递增,在上单调递减,因此,当时,最大,,从而.当时,可化为,设,则,所以,在上单调递增,因此,当时,最小,,从而.由以上,【例4】(2008天津卷,文)设函数.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围;(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.【解】(Ⅰ)当时,令,得当变化时,的变化情况如下:负正负正减极小值增极大值减极小值增用心爱心专心所以在和内是增函数,在和内是减函数.(Ⅱ),显然不是方程的根,为使函数仅在处有极值,必须使恒成立,于是有解得.这时,是的唯一的极值.(Ⅲ)由条件可知,从而恒成立.因此,当时,当时,所以,函数在区间上的最大值是与中的最大者.于是对于任意的,不等式在上恒成立的充分必要条件是即在上恒成立.由,所以的取值范围为【例5】（2006江西卷,理）已知函数在与时都取得极值(Ⅰ)求的值与函数fx的单调区间(Ⅱ)若对1,2x，不等式2fxc恒成立，求的取值范围。【解】(Ⅰ)32fxxaxbxc，232fxxaxb由，得,.，函数f（x）的单调区间如下表：（－，－）－（－，1）f（x）＋0－0＋用心爱心专心f（x）增极大值减极小值增所以函数fx的递增区间是与,递减区间是(Ⅱ)，1,2x，当时，＝＋c为极大值，而，则22fc为最大值。要使,恒成立，只需.解得或.【例6】(2005湖北卷，理,文)已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.【解】依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是,t的取值范围.是.【例7】(2006湖北卷,文)设数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.用心爱心专心【解】（Ⅰ）依题意得，即.当n≥2时，;当n=1时，×-2×1-1-6×1-5所...
