高频考点集中练数列与不等式1.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则()A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|【命题思维分析】高考对指(对)数函数、幂函数的考查一般是利用性质比较大小或借助分段函数求值,本题以不等式为载体,考查利用指(对)数函数、幂函数的图象与性质比较大小.【解析】选C.当a=3,b=2时,选项A错.由于a>b,而y=3x是增函数,所以3a>3b,故B错.当a=3,b=-5时,选项D错.因为y=x3是增函数,故a3>b3,故C正确.【真题拾贝】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.2.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=世纪金榜导学号()A.16B.8C.4D.2【命题思维分析】利用方程思想列出关于a1,q的方程组,求出a1,q,再利用通项公式即可求得a3的值.【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.【真题拾贝】数列的基本量问题,列方程或方程组求解即可.3.(2018·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.世纪金榜导学号【解析】画出可行域如图阴影部分所示(含边界),可知目标函数过点(2,0)时取得最大值,zmax=3×2+2×0=6.答案:6【真题拾贝】该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.4.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列满足a1=1,nan+1=2an,设bn=.(1)求b1,b2,b3.(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由.(3)求的通项公式.【命题思维分析】(1)根据题中条件所给的数列{an}的递推公式nan+1=2(n+1)an,将其化为an+1=an,分别令n=1和n=2,代入上式求得a2=4和a3=12,再利用bn=,从而求得b1=1,b2=2,b3=4.(2)利用条件可以得到=,从而可以得出bn+1=2bn,这样就可以得到数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)借助等比数列的通项公式求得=2n-1,从而求得an.【解析】(1)由条件可得an+1=an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.【真题拾贝】该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项,根据不同数列的项之间的关系,确定新数列的项,利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列,根据等比数列通项公式求得数列{bn}的通项公式,借助于{bn}的通项公式求得数列{an}的通项公式,从而求得最后的结果.5.(2017·全国卷Ⅲ)设数列满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.世纪金榜导学号(1)求的通项公式.(2)求数列的前n项和.【命题思维分析】(1)利用数列递推关系即可得出.(2)==-.利用裂项求和方法即可得出.【解析】(1)由已知可得:a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,所以当n>1时有a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),所以两式作差可得:(2n-1)an=2,即an=(n>1,且n∈N*),又因为n=1时,a1=2符合,所以an=(n∈N*).(2)设bn=,则bn==-,所以数列的前n项和为Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-=.【真题拾贝】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法,注意裂项相消规律.6.(2018·浙江高考)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.世纪金榜导学号(1)求q的值.(2)求数列{bn}的通项公式.【命题思维分析】(1)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比,(2)先根据数列{(bn+1-bn)an}前n项和求通项,解得bn+1-bn,再通过叠加法以及错位相减法求bn.【解析】(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8=20,因为q>1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn.由cn=解得cn=4n-1,经检验,n=1...
